\begin{align} \hat{x} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) \\ \hat{p} &= i \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) \end{align}
$\hat{a} | 0 \rangle = 0 $ より $\langle 0 | \hat{a}^\dagger = 0 $ であることに注意して、 \begin{align} \langle \hat{x} \rangle &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \langle 0 | \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) | 0 \rangle \\ &= 0 \\ \langle \hat{x}^2 \rangle &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \langle 0 | \left( \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 + \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger \right) | 0 \rangle \\ &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \langle 0 | \left( \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 + 2 \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1 \right) | 0 \rangle \\ &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \\ \langle \hat{p} \rangle &= i \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} \langle 0 | \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) | 0 \rangle \\ &= 0 \\ \langle \hat{p}^2 \rangle &= - \frac{\hbar m \omega}{2} \langle 0 | \left( \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 - \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{a} \hat{a}^\dagger \right) | 0 \rangle \\ &= - \frac{\hbar m \omega}{2} \langle 0 | \left( \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 - 2 \hat{a}^\dagger \hat{a} - 1 \right) | 0 \rangle \\ &= \frac{\hbar m \omega}{2} \end{align} を得る。 （ $ \langle 0 | 0 \rangle = 1 $ を仮定した。）
\begin{align} \Delta A &= \sqrt{ \langle ( \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle )^2 \rangle } \\ &= \sqrt{ \langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2 } \end{align} であるから、 (1) より、 \begin{align} \Delta x \Delta p &= \sqrt{ \frac{\hbar}{2 m \omega} } \cdot \sqrt{ \frac{\hbar m \omega}{2} } \\ &= \frac{\hbar}{2} \end{align} を得る。
\begin{align} \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{n} + \frac{1}{2} \right) \end{align}
\begin{align} \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] &= 1 \\ \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \right] &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] + \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \hat{a}^\dagger \\ &= 2 \hat{a}^\dagger \\ \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \right] &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \right] + \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \\ &= 3 \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \\ \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^4 \right] &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \right] + \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \\ &= 4 \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \end{align} であるから、 \begin{align} \left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^n \right] &= n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1} \end{align} である。
\begin{align} \hat{n} | n \rangle &= \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}^\dagger \hat{a} \left( \hat{a}^\dagger \right)^n | 0 \rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}^\dagger \left\{ \left( \hat{a}^\dagger \right)^n \hat{a} + n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1} \right\} | 0 \rangle \\ &= n | n \rangle \end{align} であるから、 $| n \rangle$ は $\hat{n}$ の固有値 $n$ に属する固有状態である。 また、 $| n \rangle$ は $\hat{H}$ の固有値 \begin{align} \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \end{align} に属する固有状態である。
\begin{align} \hat{a} | \alpha \rangle &= e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!} \hat{a} \left( \hat{a}^\dagger \right)^n | 0 \rangle \\ &= e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha^n}{n!} \hat{a} \left( \hat{a}^\dagger \right)^n | 0 \rangle \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \hat{a} | 0 \rangle = 0 ) \\ &= e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha^n}{n!} \hat{a} \left\{ \left( \hat{a}^\dagger \right)^n \hat{a} + n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1} \right\} | 0 \rangle \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{（問4）} ) \\ &= e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha^n}{(n-1)!} \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1} | 0 \rangle \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \hat{a} | 0 \rangle = 0 ) \\ &= \alpha | \alpha \rangle \end{align} であるから、 $| \alpha \rangle$ は $\hat{a}$ の固有値 $\alpha$ に属する固有状態である。
\begin{align} \langle \hat{n} \rangle &= \langle \alpha | \hat{a}^\dagger \hat{a} | \alpha \rangle \\ &= | \alpha |^2 \\ \langle \hat{n}^2 \rangle &= \langle \alpha | \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger \hat{a} | \alpha \rangle \\ &= | \alpha |^2 \langle \alpha | \hat{a} \hat{a}^\dagger | \alpha \rangle \\ &= | \alpha |^2 \langle \alpha | \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1 \right) | \alpha \rangle \\ &= | \alpha |^2 \left( | \alpha |^2 + 1 \right) \\ \therefore \ \ \ \ \Delta n^2 &= \langle \hat{n}^2 \rangle - \langle \hat{n} \rangle^2 \\ &= | \alpha |^2 \left( | \alpha |^2 + 1 \right) - | \alpha |^4 \\ &= | \alpha |^2 \\ \therefore \ \ \ \ \Delta n &= | \alpha | \end{align} （ $ \langle \alpha | \alpha \rangle = 1 $ を証明なしに使った。）