偏導関数は、 \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2-y , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y-x \end{align} である。
また、 $x=1,y=2$ のとき、 \begin{align} f(1,2)=3 , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = 1 , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (1,2) = 3 \end{align} であるから、 求める接平面は、点 $(1,2,3)$ を通り、法線ベクトル $(1,3,-1)$ を持つので、 その方程式は、 \begin{align} (x-1) + 3(y-2) - (z-3) = 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \ \ x + 3y - z - 4 = 0 \end{align} である。
(i) 次のように計算できる： \begin{align} h'(x) &= \exp \left\{ \exp (2x) - 1 \right\} \cdot \exp (2x) \cdot 2 \\ h(0) &= 1 \\ h'(0) &= 2 \end{align} よって、 $h(x)$ は1次の項までで次のようにテイラー展開される： \begin{align} h(x) = 1 + 2x + \cdots \end{align}
(ii) $h(x)$ の2次以上の項をまとめて $\varphi(x)$ とすると、 \begin{align} a &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - h(x)}{x^k} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-2x - \varphi(x)}{x^k} \end{align} であるから、 $k \lt 1$ のときは $a=0$ であり、 $k \gt 1$ のときは発散する。 よって、極限が存在し $0 \lt |a| \lt \infty$ を満たすのは $k=1$ のときであり、このとき \begin{align} a = -2 \end{align} である。
求める面積は、 \begin{align} \int_0^{1/2} \cos^{-1} \left( x + \frac{1}{2} \right) dx = \int_0^{\pi / 3} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx = \left[ \sin x - \frac{1}{2} x \right]_0^{\pi / 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \end{align} である。
$ h(t) = dg(t)/dt$ とすると、与えられた微分方程式は、次のように書ける： \begin{align} \frac{dh(t)}{dt} + h(t) + \sin t = 0 \tag{1} \end{align} そこで、 \begin{align} \frac{dh(t)}{dt} + h(t) = 0 \end{align} を考えると、これの一般解は、積分定数を $A$ として、 \begin{align} h(x) = A e^{-t} \end{align} と書ける。 そこで、式 (1) の解を次のよう形で探す： \begin{align} h(x) = A(t) e^{-t} \end{align} これを式 (1) に代入して整理すると、 \begin{align} A'(t) = - e^t \sin t \end{align} よって、 \begin{align} A(t) = - \int e^t \sin t dt = - e^t \sin t + \int e^t \cos t dt = - e^t \sin t + e^t \cos t - \int e^t \sin t dt \end{align} よって、 \begin{align} A(t) &= \frac{1}{2} \left( \cos t - \sin t \right) e^t + B \\ \therefore \ \ h(t) &= \frac{1}{2} \left( \cos t - \sin t \right) + B e^{-t} \\ \therefore \ \ g(t) &= \frac{1}{2} \left( \sin t + \cos t \right) - B e^{-t} + C \end{align} ここで、 $B, C$ は積分定数である。
また、与えられた初期値を満たすのは、 \begin{align} B = - \frac{1}{2} , \ \ C = 1 \end{align} すなわち、 \begin{align} g(t) = \frac{1}{2} \left( \sin t + \cos t \right) + \frac{1}{2} e^{-t} + 1 \end{align} である。
与えられた変数変換について、 \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = 2 &, \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = -1 \\ \frac{\partial v}{\partial x} = 1 &, \ \ \frac{\partial v}{\partial y} = 3 \end{align} であるから、 $du dv = 7 dx dy$ であり、 与えられた積分は、 \begin{align} &\iint_D \frac{u^3}{4+v^2} \frac{du dv}{7} = \frac{1}{7} \int_0^1 u^3 du \int_0^2 \frac{dv}{4+v^2} \\ &= \frac{1}{7} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 \left[ \frac{1}{2} \arctan \frac{v}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{7} \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{224} \end{align} となる。