\begin{align} \left| \int_0^Y e^{-a(X+iy)^2} dy \right| &\le \int_0^Y \left| e^{-a(X^2+2iXy-y^2)} \right| dy \\ &= e^{-aX^2} \int_0^Y e^{ay^2} dy \\ &\xrightarrow{X \to \infty} 0 \end{align}
(問1) と同様に、 \begin{align} \left| \int_0^Y e^{-a(-X+iy)^2} dy \right| &\le \int_0^Y \left| e^{-a(X^2-2iXy-y^2)} \right| dy \\ &= e^{-aX^2} \int_0^Y e^{ay^2} dy \\ &\xrightarrow{X \to \infty} 0 \end{align} である。
複素数 $z$ の関数 $e^{-az^2}$ は与えられた積分経路の内側で特異点を持たないので、 積分は $0$ となる： \begin{align} 0 &= \int_{-X}^X e^{-ax^2} dy + \int_0^Y e^{-a(X+iy)^2} dy + \int_X^{-X} e^{-a(x+iY)^2} dx + \int_Y^0 e^{-a(-X+iy)^2} dy \\ &= \int_{-X}^X e^{-ax^2} dy + \int_0^Y e^{-a(X+iy)^2} dy - \int_{-X}^X e^{-a(x+iY)^2} dx - \int_0^Y e^{-a(-X+iy)^2} dy \end{align} よって、 \begin{align} \int_{-X}^X e^{-a(x+iY)^2} dx = \int_{-X}^X e^{-ax^2} dy + \int_0^Y e^{-a(X+iy)^2} dy - \int_0^Y e^{-a(-X+iy)^2} dy \end{align} ここで、 $X \to \infty$ とすると、 \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x+iY)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align} を得る。
\begin{align} \frac{\partial U(k,t)}{\partial t} &= \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} e^{-ikx} dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} e^{-ikx} dx \\ &= \left[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} e^{-ikx} \right]_{-\infty}^\infty +ik \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} e^{-ikx} dx \\ &= ik \left[ u(x,t) e^{-ikx} \right]_{-\infty}^\infty -k^2 \int_{-\infty}^\infty u(x,t) e^{-ikx} dx \\ &= -k^2 U(k,t) \end{align}
(問3) で得た微分方程式より、 \begin{align} U(k,t) = U(k,0) e^{-k^2 t} \end{align} がわかる。 さらに、条件 $u(x,0)=\delta(x-1)$ より、 \begin{align} U(k,0) &= \int_{-\infty}^\infty u(x,0) e^{-ikx} dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty \delta(x-1) e^{-ikx} dx \\ &= e^{-ik} \end{align} であるから、 \begin{align} U(k,t) = e^{-k^2 t - ik} \end{align} を得る。
\begin{align} u(x,t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty U(k,t) e^{ikx} dk \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-k^2t+ik(x-1)} dk \\ &= \frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{(x-1)^2}{4t}} \int_{-\infty}^\infty e^{-t \left( k - i \frac{x-1}{2t} \right)^2} dk \\ &= \frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{(x-1)^2}{4t}} \sqrt{\frac{\pi}{t}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}} e^{-\frac{(x-1)^2}{4t}} \end{align}