与えられた条件より、 \begin{align} 0 = \alpha \mu + \beta , \ \ \ \ 1 = \alpha^2 \sigma^2 \end{align} であるから、 $\alpha \gt 0$ とすると、 \begin{align} \alpha = \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = - \frac{\mu}{\sigma} \end{align} であり、 $\alpha \lt 0$ とすると、 \begin{align} \alpha = - \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = \frac{\mu}{\sigma} \end{align} である。
まず、 平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ の確率変数 $X$ の モーメント母関数 $M_X(t)$ は、次のように求められる： \begin{align} M_X(t) &= E_X \left[ \exp (tX) \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp \left( tx \right) dx \\ &= \frac{\exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) } {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac {\left\{ x - (\mu - \sigma^2 t) \right\}^2 }{2 \sigma^2} \right) dx \\ &= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) . \end{align}
そこで、 $X_1$ と $X_2$ が独立であることを考慮して、 \begin{align} M_{aX_1+bX_2}(t) &= E_{X_1} \left[ \exp (taX_1) \right] E_{X_2} \left[ \exp (tbX_2) \right] \\ &= \exp \left( \mu_1 ta + \frac{\sigma_1^2 t^2 a^2}{2} \right) \exp \left( \mu_2 tb + \frac{\sigma_2^2 t^2 b^2}{2} \right) \\ &= \exp \left( \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} t^2 + (a \mu_1 + b \mu_2 ) t \right) \end{align} であるから、 \begin{align} A = \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} , \ \ \ \ B = a \mu_1 + b \mu_2 , \ \ \ \ C = 0 \end{align} を得る。