質点に働く合力の大きさは \begin{align} mg \tan \theta \approx mg \cdot \frac{r}{l} \end{align} なので $r$ に比例し、比例係数は \begin{align} k = \frac{mg}{l} \end{align} である。
\begin{align} m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \end{align}
\begin{align} x = A \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) + B \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) \ \ \ \ \ \ \ \ (A,B \text{ は積分定数}) \end{align}
\begin{align} T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \end{align}
遠心力
\begin{align} \frac{dV_{\mathrm{eff}}(r)}{dr} &= kr - \frac{L^2}{mr^3} \\ &= \frac{mkr^4 - L^2}{mr^3} \end{align} であり、 $r_0 \gt 0$ なので \begin{align} r_0 &= \left( \frac{L^2}{mk} \right)^\frac{1}{4} ,\\ V_\mathrm{eff}(r_0) &= \frac{k}{2} \frac{L}{\sqrt{mk}} + \frac{L^2}{2m} \frac{\sqrt{mk}}{L} \\ &= L \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align} である。
\begin{align} \frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r)}{dr^2} &= k + \frac{3L^2}{mr^4} \\ \therefore \ \ \frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r_0)}{dr^2} &= k + \frac{3L^2}{mr_0^4} \\ &= k + \frac{3L^2}{m} \frac{mk}{L^2} \\ &= 4k \\ \therefore \ \ a &= \frac{1}{2!} \frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r_0)}{dr^2} \\ &= 2k \end{align}
(2) と同様に考えると、次がわかる： \begin{align} \nu_r &= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}} \\ &= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2a}{m}} \end{align}
2倍
角運動量保存則より、楕円軌道である。 楕円は（長軸と短軸の長さが等しくない場合）、 中心点 O に関する回転対称性を考えると最小角度は180°であるので、 $\nu_r / \nu_x = 2$ がわかる。