$t'$ 秒間に検出される光子イベント数の平均は $nt'$ であるから、 式 (1) より、 \begin{align} p(t') &= \frac{(nt')^0}{0!} e^{-nt'} \\ &= e^{-nt'} \end{align} がわかる。
式 (2) の両辺を $t'$ で微分すると、 \begin{align} \frac{dp(t')}{dt'} = - g(t') \end{align} となるので、 \begin{align} g(t) &= - \frac{dp(t)}{dt} \\ &= ne^{-nt} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (a) } ) \end{align} を得る。
\begin{align} \int_0^\infty t g(t) dt &= n \int_0^\infty t e^{-nt} dt \\ &= - \left[ t e^{-nt} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-nt} dt \\ &= - \frac{1}{n} \left[ e^{-nt} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{n} \end{align}
問 1. (b) の確率変数 $t$ の確率密度関数 $g(t)$ について、 $0 \leq t \leq T$ の確率が $1/2$ となるような $T$ を求める： \begin{align} \frac{1}{2} &= \int_0^T g(t) dt \\ &= n \int_0^T e^{-nt} dt \\ &= - \left[ e^{-nt} \right]_0^T \\ &= 1 - e^{-nT} \\ \therefore \ \ T &= \frac{1}{n} \ln (2) \end{align} これに $n=1/50$ [回/年] を代入すると、 \begin{align} T &= 50 \times 0.693 \\ &= 34.65 \ \ \text{ [年] } \end{align} を得る。 $1987+34.65=2021.65$ であるから、求める $Y$ は $2021$ であろう。
$X_s$ は期待値 $mt$ 分散 $mt$ の正規分布に従うとしてよい。 $X_s$ と $X_r$ が独立であるとすると、 与えられた性質 (正規分布の再生性) より、 $X_m$ は期待値 $mt$ 分散 $\sigma_r^2$ に従うことがわかるので、 \begin{align} h(X_m) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi (mt + \sigma_r^2)}} \exp \left( - \frac{(X_m-mt)^2}{2(mt+\sigma_r^2)} \right) \end{align}
$X_m$ の期待値と標準偏差はそれぞれ \begin{align} mt &= 40t \\ \sqrt{mt+\sigma_r^2} &= \sqrt{40t+400} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{40t}{\sqrt{40t+400}} = 30 \end{align} となる $t \ (\gt 0)$ を求めると $t=30$ を得る。 これが求める露光時間であろう。
$\alpha \ (=1,2,\cdots,k)$ 番目のセットの $i \ (=1,2,\cdots,j)$ 番目の乱数 $q_i^{(\alpha)}$ とする。 (5)式を考慮して、 \begin{align} z^{(\alpha)} &= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt{j}} \left( \sum_{i=1}^j q_j^{(\alpha)} - j \cdot \frac{1}{2} \right) \\ &= 2 \sqrt{\frac{3}{j}} \sum_{i=1}^j q_j^{(\alpha)} - \sqrt{3j} \end{align} とおくと、与えられた性質 (中心極限定理) より、これは標準正規分布に従う。 よって、さらに \begin{align} w_\alpha &= \sqrt{mt+\sigma_r^2} z^{(\alpha)} + mt \end{align} とおくと、与えられた性質 (標準正規分布の線形変換) により、 これの期待値は $mt$ で分散は $mt+\sigma_r^2$ であることがわかる。 このようにして $w_1, w_2, \cdots, w_k$ を生成すればよい。