$ \sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = \left| \uparrow \right\rangle $ であるから、 $ \left| \uparrow \right\rangle $ は $\sigma_z$ の固有値 $1$ に属する固有ベクトルであり、 $ s_z = 1 $ である。
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = 1 $ である。
$ \sigma_x $ の固有値は $\pm 1$ であり、 固有値 $ 1$ に属する固有ベクトル $ \left| x \uparrow \right\rangle $ , 固有値 $-1$ に属する固有ベクトル $ \left| x \downarrow \right\rangle $ はそれぞれ、 \begin{align} \left| x \uparrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ \left| x \downarrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \end{align} が成り立つから、 $s_x = \pm 1$ である。
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma_x \left| \uparrow \right\rangle = 0 $ である。
\begin{align} \sigma ( \theta ) = (\cos \theta) \sigma_z + (\sin \theta) \sigma_x = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{pmatrix} \end{align} の固有値は $\pm 1$ であり、 固有値 $ 1$ に属する固有ベクトル $ \left| \theta \uparrow \right\rangle $ , 固有値 $-1$ に属する固有ベクトル $ \left| \theta \downarrow \right\rangle $ はそれぞれ、 \begin{align} \left| \theta \uparrow \right\rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} , \ \ \ \ \left| \theta \downarrow \right\rangle = \begin{pmatrix} \sin \frac{\theta}{2} \\ - \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle = \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \end{align} が成り立つから、 $s_\theta = \pm 1$ である。 （ただし、 $ \theta = 0 $ のときは $s_\theta = 1$ 、 $ \theta = \pi $ のときは $s_\theta = -1$ である。）
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma(\theta) \left| \uparrow \right\rangle = \cos \theta $ である。
$ \left( s_z^A, s_z^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ であり、 $ s_z^A s_z^B $ の期待値は $-1$ である。
上の 2. で考えたように、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \\ \left| \downarrow \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \end{align} であるから、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left( \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A + \left| x \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \left| x \uparrow \right\rangle_B - \left| x \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A - \left| x \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \left| x \uparrow \right\rangle_B + \left| x \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A \left| x \downarrow \right\rangle_B - \left| x \downarrow \right\rangle_A \left| x \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \left( s_x^A, s_x^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ であり、 $ s_x^A s_x^B $ の期待値は $-1$ である。
上の 3. で考えたように、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle &= \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \\ \left| \downarrow \right\rangle &= \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \end{align} であるから、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \theta \downarrow \right\rangle_B - \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \theta \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \left( s_\theta^A, s_\theta^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ である。
\begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B - \cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \cos \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B + \cos \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \varphi - \theta = 0 $ のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ 、 $ \varphi - \theta = \pm \pi $ のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1) $ 、 それ以外のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ である。
また、 $ s_\theta^A s_\varphi^B $ の期待値は、次のように計算できる： \begin{align} &\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot (-1) \\ &= \sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2} - \cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \\ &= - \cos ( \varphi - \theta ) \end{align}
$\varphi - \theta$ のとりうる値は、 $\varphi - \theta = -240^\circ, -120^\circ, 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$ であり、その確率はそれぞれ \begin{align} \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9} \end{align} である。
例えば、 $\varphi - \theta = -240^\circ$ のとき、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B - \frac{\sqrt{3}}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \frac{1}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B + \frac{1}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} であるから、このとき、$s^A s^B$ のとりうる値は、 $ \pm 1 $ であり、 $1, -1$ である確率はそれぞれ、 \begin{align} \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4} , \ \ \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4} \end{align} である。 また、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は、 $(s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ である。 $\varphi - \theta = -120^\circ, 120^\circ, 240^\circ$ のときも同様である。
$\varphi - \theta = 0^\circ$ のときは、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle = - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} であるから、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は $(s^A, s^B) = (1, -1), (-1, 1)$ であり、 $s^A s^B$ のとりうる値は $-1$ のみである。
以上より、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は、 $(s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ であり、 $s^A s^B$ の期待値は、 \begin{align} \frac{6}{9} \cdot \left( \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (-1) \right) + \frac{3}{9} \cdot (-1) = 0 \end{align} である。
このとき、 $ \left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,-1)$ であるから、 $s^A s^B$ は必ず $-1$ であり、期待値も $-1$ である。
このとき、 $ \left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,+1)$ であるから、 $s^A s^B$ が $1$ になるのは $2 \times 2 + 1 \times 1 = 5$ 通り、 $-1$ になるのは $2 \times 1 + 1 \times 2 = 4$ 通りである。 これらは等確率であるから、 $s^A s^B$ の期待値は、 \begin{align} \frac{5}{9} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot (-1) = \frac{1}{9} \end{align} である。
$ \left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,+1), (-1,-1,-1)$ のとき、(i) より、 $s^A s^B$ の期待値は $-1$ である。
$ \left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,-1), (+1,-1,+1), (-1,+1,+1), (+1,-1,-1), (-1,+1,-1), (-1,-1,+1)$ のとき、(ii) より、 $s^A s^B$ の期待値は $1/9$ である。
よって、 $s^A s^B$ の期待値は \begin{align} \frac{2}{8} \cdot (-1) + \frac{6}{8} \cdot \frac{1}{9} = - \frac{1}{6} \end{align} である。