\begin{align} \int_{- \infty}^\infty dp e^{- \frac{\beta}{2m} p^2} = \sqrt{\frac{2 \pi m}{\beta}} = \sqrt{2 \pi m k_B T} \end{align} であるから、 \begin{align} Z(T,V,N) = \frac{1}{h^{3N} N!} V^N \left(2 \pi m k_B T \right)^{3N/2} \end{align} を得る。
よって、ヘルムホルツの自由エネルギー $F(T,V,N)$ は次のように求められる： \begin{align} F(T,V,N) &= - k_B T \ln Z(T,V,N) \\ &= - k_B T \left( N \ln V - \ln N! + N \ln \frac{(2 \pi m k_B T)^{3/2}}{h^3} \right) \\ &\approx - k_B T \left( N \ln V - N - N \ln N + N \ln \frac{(2 \pi m k_B T)^{3/2}}{h^3} \right) \\ &= - k_B T N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e}{h^3} \right) \end{align}
そこで、 $dF = -S dT - P dV + \mu N$ を考慮して、 圧力 $P(T,V,N)$ は次のように求められる： \begin{align} P(T,V,N) &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial V} \\ &= \frac{k_B T N}{V} \end{align}
因子 $N!$ がないと、ヘルムホルツの自由エネルギーが示量性を満たさなくなる。 すなわち、 \begin{align} F(T, \lambda V, \lambda N) = \lambda F(T,V,N) \end{align} が成り立たなくなる。
\begin{align} S(T,V,N) &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial T} \\ &= k_B N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e}{h^3} \right) + k_B T N \cdot \frac{3}{2} \frac{1}{T} \\ &= k_B N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e^{5/2}}{h^3} \right) \end{align}
$ T \to 0$ のとき $S \to - \infty$ となる。
\begin{align} C_V(T,V,N) &= T \frac{\partial S(T,V,N)}{\partial T} \\ &= T \cdot k_B N \cdot \frac{3}{2} \frac{1}{T} \\ &= \frac{3}{2} k_B N \end{align}
周期的境界条件から、 $e^{ i k_x L} = 1$ なので、 整数 $n_x$ を使って、 \begin{align} k_x L = 2 \pi n_x \ \ \ \ \therefore \ \ k_x = \frac{2 \pi n_x}{L} \end{align} 同様に、整数 $n_y, n_z$ を使って、 \begin{align} k_y = \frac{2 \pi n_y}{L} , \ \ \ \ k_z = \frac{2 \pi n_z}{L} \end{align}
グランドポテンシャル $\Omega (T, V, \mu)$ は、次のようになる： \begin{align} \Omega(T,V, \mu) &= - k_B T \ln \Xi (T, V, \mu) \\ &= - k_B T \sum_k \ln \left( 1 + e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} \right) \end{align} よって、 \begin{align} \bar{N} &= - \frac{\partial \Omega (T, V, \mu)}{\partial \mu} \\ &= k_B T \sum_k \frac{ e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} \cdot \beta } { 1 + e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} } \\ &= \sum_k \frac{1}{ e^{ \beta (\varepsilon_k - \mu)} + 1 } \\ &= \sum_k f(\varepsilon_k) \end{align}
与えられた近似の下で積分を実行すると、次のようになる： \begin{align} N &\approx \iiint e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu) } \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^3 dk_x dk_y dk_z \\ &= \frac{V}{(2 \pi)^3} e^{\beta \mu} \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_x^2} dk_x \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_y^2} dk_y \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_z^2} dk_z \\ &= \frac{V}{(2 \pi)^3} e^{\beta \mu} \left( \frac{2 \pi m }{\beta \hbar^2} \right)^{3/2} \\ &= V e^{\beta \mu} \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} \end{align} これを $\mu$ について解く： \begin{align} e^{\beta \mu} &= \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2 \beta}{m} \right)^{3/2} \\ \therefore \ \ \mu &= \frac{1}{\beta} \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2 \beta}{m} \right)^{3/2} \right] \\ &= k_B T \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right] \end{align}