\begin{align} \langle \hat{x} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{- \infty}^\infty dx \ x \exp \left( - \frac{x^2}{a^2} \right) = 0 \\ \langle \hat{x}^2 \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x^2 \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{- \infty}^\infty dx \ x^2 \exp \left( - \frac{x^2}{a^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi a^6} = \frac{a^2}{2} \\ \langle \hat{p} \rangle &= \frac{\hbar}{i} \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d}{dx} \psi(x) = 0 \\ \langle \hat{p}^2 \rangle &= - \hbar^2 \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \int_{- \infty}^\infty dx \left( \frac{x^2}{a^2} - 1 \right) \exp \left( - \frac{x^2}{a^2} \right) \\ &= - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \left( \frac{\sqrt{\pi a^6}}{2a^2} - \sqrt{\pi a^2} \right) = \frac{\hbar^2}{2a^2} \\ \Delta x &= \sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle - \langle \hat{x} \rangle^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \\ \Delta p &= \sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle - \langle \hat{p} \rangle^2} = \frac{\hbar}{\sqrt{2} a} \end{align}
$\Delta x$ は $a$ に比例し、 $\Delta p$ は $a$ に反比例するので、 $\Delta x$ と $\Delta p$ は互いに反比例し、 $\Delta x \Delta p = \hbar / 2$ である。 これは与えられた (1) の等号が成り立つ場合であり、最小不確定状態である。
波動関数 $\varphi(x)$ で表される状態について、 \begin{align} \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \varphi^*(x) \hat{O}^\dagger \hat{O} \varphi(x) \\ &= \int_{- \infty}^\infty dx \left( \hat{O} \varphi(x) \right)^* \hat{O} \varphi(x) \\ &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \left| \hat{O} \varphi(x) \right|^2 \\ &\geq 0 \end{align} がわかる。
まず、 $ \hat{O} = t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p} $ のとき、 $ \hat{O}^\dagger = t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p} $ である。 また、正準交換関係 $\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar$ から、 $ \Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x} = i \hbar$ がわかるので、 \begin{align} \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle &= \left\langle \left( t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p} \right) \left( t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p} \right) \right\rangle \\ &= t^2 \left\langle \left( \Delta \hat{x} \right)^2 \right\rangle - it \left\langle \Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x} \right\rangle + \left\langle \left( \Delta \hat{p} \right)^2 \right\rangle \\ &= t^2 \left( \Delta x \right)^2 + \hbar t + \left( \Delta p \right)^2 \\ &= \left( \Delta x \right)^2 \left( t + \frac{\hbar}{2 \left( \Delta x \right)^2} \right) - \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2 \end{align} である。 一方、 2. から、任意の実数 $t$ について $ \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle \geq 0 $ であるから、 \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2 &\geq 0 \\ \therefore \ \ \Delta x \Delta p &\geq \frac{\hbar}{2} \end{align} がわかる。
$\hat{O}$ が固有値 $0$ をもつということは、 それに属する固有関数について $ \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle = 0 $ が成り立つということである。 3. より、その条件は \begin{align} t = - \frac{\hbar}{2 ( \Delta x )^2} , \ \ \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2} \end{align} である。
次のように書くことにする： \begin{align} s^2 = \left( \Delta x \right)^2 , \ \ \bar{x} = \langle \hat{x} \rangle , \ \ \bar{p} = \langle \hat{p} \rangle \end{align} 4. で求めた $t$ を使って $\hat{O}$ は次のようになる： \begin{align} \hat{O} &= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( \hat{x} - \bar{x} \right) - i \left( \hat{p} - \bar{p} \right) \\ &= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( x - \bar{x} \right) - i \left( \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} - \bar{p} \right) \\ &= - \hbar \left( \frac{d}{dx} + \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} - \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) \end{align} 求める波動関数 $u(x)$ は、 $ \hat{O} u(x) = 0 $ が成り立つので、 \begin{align} \frac{du(x)}{dx} &= \left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} + \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) u(x) \\ \frac{du}{u} &= \left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} + \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) dx \\ \therefore \ \ u(x) &= C \exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2} + \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right) \end{align} ここで $C$ は積分定数であり、 規格化条件から $ C = 1/(2 \pi s^2)^{1/4} $ がわかるので、結局、 \begin{align} u(x) = \left( \frac{1}{2 \pi s^2} \right)^\frac{1}{4} \exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2} + \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right) \end{align} を得る。