$ \sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = \left| \uparrow \right\rangle $ であるから、 $ \left| \uparrow \right\rangle $ は $\sigma_z$ の固有値 $1$ に属する固有ベクトルであり、 $ s_z = 1 $ である。
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = 1 $ である。
$ \sigma_x $ の固有値は $\pm 1$ であり、 固有値 $ 1$ に属する固有ベクトル $ \left| x \uparrow \right\rangle $ , 固有値 $-1$ に属する固有ベクトル $ \left| x \downarrow \right\rangle $ はそれぞれ、 \begin{align} \left| x \uparrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ \left| x \downarrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \end{align} が成り立つから、 $s_x = \pm 1$ である。
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma_x \left| \uparrow \right\rangle = 0 $ である。
\begin{align} \sigma ( \theta ) = (\cos \theta) \sigma_z + (\sin \theta) \sigma_x = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{pmatrix} \end{align} の固有値は $\pm 1$ であり、 固有値 $ 1$ に属する固有ベクトル $ \left| \theta \uparrow \right\rangle $ , 固有値 $-1$ に属する固有ベクトル $ \left| \theta \downarrow \right\rangle $ はそれぞれ、 \begin{align} \left| \theta \uparrow \right\rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} , \ \ \ \ \left| \theta \downarrow \right\rangle = \begin{pmatrix} \sin \frac{\theta}{2} \\ - \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle = \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \end{align} が成り立つから、 $s_\theta = \pm 1$ である。 （ただし、 $ \theta = 0 $ のときは $s_\theta = 1$ 、 $ \theta = \pi $ のときは $s_\theta = -1$ である。）
また、期待値は、 $ \left\langle \uparrow \right| \sigma(\theta) \left| \uparrow \right\rangle = \cos \theta $ である。
$ \left( s_z^A, s_z^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ であり、 $ s_z^A s_z^B $ の期待値は $-1$ である。
上の 2. で考えたように、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \\ \left| \downarrow \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle \end{align} であるから、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left( \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A + \left| x \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \left| x \uparrow \right\rangle_B - \left| x \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A - \left| x \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \left| x \uparrow \right\rangle_B + \left| x \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| x \uparrow \right\rangle_A \left| x \downarrow \right\rangle_B - \left| x \downarrow \right\rangle_A \left| x \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \left( s_x^A, s_x^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ であり、 $ s_x^A s_x^B $ の期待値は $-1$ である。
上の 3. で考えたように、 \begin{align} \left| \uparrow \right\rangle &= \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \\ \left| \downarrow \right\rangle &= \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle \end{align} であるから、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \theta \downarrow \right\rangle_B - \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \theta \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \left( s_\theta^A, s_\theta^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ である。
\begin{align} \left| \Psi \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B - \left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left( \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A + \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B - \cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B \right) - \left( \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A - \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \right) \left( \cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B \right) \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B + \sin \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \cos \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B + \cos \frac{\varphi - \theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} となる。 よって、 $ \varphi - \theta = 0 $ のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, -1), (-1, 1) $ 、 $ \varphi - \theta = \pm \pi $ のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1) $ 、 それ以外のときは $ \left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ である。
また、 $ s_\theta^A s_\varphi^B $ の期待値は、次のように計算できる： \begin{align} &\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot (-1) \\ &= \sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2} - \cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \\ &= - \cos ( \varphi - \theta ) \end{align}
$\varphi - \theta$ のとりうる値は、 $\varphi - \theta = -240^\circ, -120^\circ, 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$ であり、その確率はそれぞれ \begin{align} \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9} \end{align} である。
例えば、 $\varphi - \theta = -240^\circ$ のとき、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B - \frac{\sqrt{3}}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \frac{1}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B + \frac{1}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} であるから、このとき、$s^A s^B$ のとりうる値は、 $ \pm 1 $ であり、 $1, -1$ である確率はそれぞれ、 \begin{align} \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4} , \ \ \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4} \end{align} である。 また、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は、 $(s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ である。 $\varphi - \theta = -120^\circ, 120^\circ, 240^\circ$ のときも同様である。
$\varphi - \theta = 0^\circ$ のときは、 \begin{align} \left| \Psi \right\rangle = - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \theta \uparrow \right\rangle_A \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B - \left| \theta \downarrow \right\rangle_A \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B \right) \end{align} であるから、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は $(s^A, s^B) = (1, -1), (-1, 1)$ であり、 $s^A s^B$ のとりうる値は $-1$ のみである。
以上より、 $(s^A, s^B)$ がとりうる値は、 $(s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)$ であり、 $s^A s^B$ の期待値は、 \begin{align} \frac{6}{9} \cdot \left( \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (-1) \right) + \frac{3}{9} \cdot (-1) = 0 \end{align} である。
このとき、 $ \left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,-1)$ であるから、 $s^A s^B$ は必ず $-1$ であり、期待値も $-1$ である。
このとき、 $ \left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,+1)$ であるから、 $s^A s^B$ が $1$ になるのは $2 \times 2 + 1 \times 1 = 5$ 通り、 $-1$ になるのは $2 \times 1 + 1 \times 2 = 4$ 通りである。 これらは等確率であるから、 $s^A s^B$ の期待値は、 \begin{align} \frac{5}{9} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot (-1) = \frac{1}{9} \end{align} である。
$ \left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,+1), (-1,-1,-1)$ のとき、(i) より、 $s^A s^B$ の期待値は $-1$ である。
$ \left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,-1), (+1,-1,+1), (-1,+1,+1), (+1,-1,-1), (-1,+1,-1), (-1,-1,+1)$ のとき、(ii) より、 $s^A s^B$ の期待値は $1/9$ である。
よって、 $s^A s^B$ の期待値は \begin{align} \frac{2}{8} \cdot (-1) + \frac{6}{8} \cdot \frac{1}{9} = - \frac{1}{6} \end{align} である。
\begin{align} \int_{- \infty}^\infty dp e^{- \frac{\beta}{2m} p^2} = \sqrt{\frac{2 \pi m}{\beta}} = \sqrt{2 \pi m k_B T} \end{align} であるから、 \begin{align} Z(T,V,N) = \frac{1}{h^{3N} N!} V^N \left(2 \pi m k_B T \right)^{3N/2} \end{align} を得る。
よって、ヘルムホルツの自由エネルギー $F(T,V,N)$ は次のように求められる： \begin{align} F(T,V,N) &= - k_B T \ln Z(T,V,N) \\ &= - k_B T \left( N \ln V - \ln N! + N \ln \frac{(2 \pi m k_B T)^{3/2}}{h^3} \right) \\ &\approx - k_B T \left( N \ln V - N - N \ln N + N \ln \frac{(2 \pi m k_B T)^{3/2}}{h^3} \right) \\ &= - k_B T N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e}{h^3} \right) \end{align}
そこで、 $dF = -S dT - P dV + \mu N$ を考慮して、 圧力 $P(T,V,N)$ は次のように求められる： \begin{align} P(T,V,N) &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial V} \\ &= \frac{k_B T N}{V} \end{align}
因子 $N!$ がないと、ヘルムホルツの自由エネルギーが示量性を満たさなくなる。 すなわち、 \begin{align} F(T, \lambda V, \lambda N) = \lambda F(T,V,N) \end{align} が成り立たなくなる。
\begin{align} S(T,V,N) &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial T} \\ &= k_B N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e}{h^3} \right) + k_B T N \cdot \frac{3}{2} \frac{1}{T} \\ &= k_B N \left( \frac{3}{2} \ln T + \ln \frac{V}{N} + \ln \frac{(2 \pi m k_B)^{3/2} e^{5/2}}{h^3} \right) \end{align}
$ T \to 0$ のとき $S \to - \infty$ となる。
\begin{align} C_V(T,V,N) &= T \frac{\partial S(T,V,N)}{\partial T} \\ &= T \cdot k_B N \cdot \frac{3}{2} \frac{1}{T} \\ &= \frac{3}{2} k_B N \end{align}
周期的境界条件から、 $e^{ i k_x L} = 1$ なので、 整数 $n_x$ を使って、 \begin{align} k_x L = 2 \pi n_x \ \ \ \ \therefore \ \ k_x = \frac{2 \pi n_x}{L} \end{align} 同様に、整数 $n_y, n_z$ を使って、 \begin{align} k_y = \frac{2 \pi n_y}{L} , \ \ \ \ k_z = \frac{2 \pi n_z}{L} \end{align}
グランドポテンシャル $\Omega (T, V, \mu)$ は、次のようになる： \begin{align} \Omega(T,V, \mu) &= - k_B T \ln \Xi (T, V, \mu) \\ &= - k_B T \sum_k \ln \left( 1 + e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} \right) \end{align} よって、 \begin{align} \bar{N} &= - \frac{\partial \Omega (T, V, \mu)}{\partial \mu} \\ &= k_B T \sum_k \frac{ e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} \cdot \beta } { 1 + e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu)} } \\ &= \sum_k \frac{1}{ e^{ \beta (\varepsilon_k - \mu)} + 1 } \\ &= \sum_k f(\varepsilon_k) \end{align}
与えられた近似の下で積分を実行すると、次のようになる： \begin{align} N &\approx \iiint e^{ - \beta (\varepsilon_k - \mu) } \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^3 dk_x dk_y dk_z \\ &= \frac{V}{(2 \pi)^3} e^{\beta \mu} \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_x^2} dk_x \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_y^2} dk_y \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{\beta \hbar^2}{2m} k_z^2} dk_z \\ &= \frac{V}{(2 \pi)^3} e^{\beta \mu} \left( \frac{2 \pi m }{\beta \hbar^2} \right)^{3/2} \\ &= V e^{\beta \mu} \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} \end{align} これを $\mu$ について解く： \begin{align} e^{\beta \mu} &= \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2 \beta}{m} \right)^{3/2} \\ \therefore \ \ \mu &= \frac{1}{\beta} \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2 \beta}{m} \right)^{3/2} \right] \\ &= k_B T \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2 \pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right] \end{align}