題意より、 \begin{align} m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 = \vec{0} , \ \ \ \ \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \end{align} であるから、 \begin{align} \vec{r}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} , \ \ \ \ \vec{r}_2 = - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} \end{align} を得る。
$\vec{r}$ のデカルト座標による成分を $(x,y)$ とすると、 \begin{align} x &= r \cos \phi \\ y &= r \sin \phi \\ \dot{x} &= \dot{r} \cos \phi - r \dot{\phi} \sin \phi \\ \dot{y} &= \dot{r} \sin \phi + r \dot{\phi} \cos \phi \\ \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 &= \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \end{align} である。 よって、求める運動エネルギー $K$ は、 \begin{align} K &= \frac{1}{2} m_1 \left| \dot{\vec{r}_1} \right|^2 + \frac{1}{2} m_2 \left| \dot{\vec{r}_2} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2^2 + m_1^2 m_2}{(m_1+m_2)^2} \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \end{align} となる。
求める重力ポテンシャルエネルギー $U$ は、 \begin{align} U = - G \frac{m_1 m_2}{r} = - \frac{G \mu M}{r} \end{align} である。
この系のラグランジアン $L$ は、 \begin{align} L = K - U = \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) + \frac{G \mu M}{r} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \phi} &= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} &= \mu r^2 \dot{\phi} = \mu l \end{align} であるから、 $\phi$ に関する運動方程式より、 $l$ が保存量であることがわかる。
上で求めたラグランジアン $L$ から、 \begin{align} \frac{\partial L}{\partial r} &= \mu r \dot{\phi}^2 - \frac{G \mu M}{r^2} = \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= \mu \dot{r} \end{align} であるから、 $r$ に関する運動方程式は、 \begin{align} \mu \ddot{r} &= \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \therefore \ \ \ \ \ddot{r} &= \frac{l^2}{r^3} - \frac{G M}{r^2} \end{align} となる。
\begin{align} E = K + U &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - \frac{G \mu M}{r} \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + \frac{l^2}{r^2} \right) - \frac{G \mu M}{r} \end{align}
\begin{align} V(r) = \frac{1}{2} \mu \frac{l^2}{r^2} - \frac{G \mu M}{r} \end{align} とすると、 \begin{align} V'(r) &= - \mu \frac{l^2}{r^3} + \frac{G \mu M}{r^2} \\ &= \mu \frac{- l^2 + G M r}{r^3} \end{align} となるので、 \begin{align} r_0 = \frac{l^2}{GM} \end{align} とすると、 $V(r)$ が最小値をとるのは $r=r_0$ のときで、 \begin{align} V(r_0) = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{align} となる。 $E$ が最小値 $E_0$ をとるのもこのときで、 \begin{align} E_0 = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{align} である。