\begin{align} \mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0) \end{align}
\begin{align} \mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0 \\ \mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2) \\ \mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z \\ \therefore \ \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z \end{align} なので、求める条件は $a+b=0$ である。
原点のまわりで \begin{align} e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \\ \sin^2 z &= z^2 - \frac{2}{3} z^4 + \cdots \end{align} とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は $1$ である。
与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - 2 \lambda + 2 \lambda &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm i \end{align} を得る。 よって、 $A, B$ を任意定数として、 \begin{align} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) \end{align} が一般解であることがわかる。
与えられた微分方程式に $y=ax^2+bx+c$ を代入すると、 \begin{align} a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0 \end{align} を得る。 つまり、 \begin{align} y = \frac{1}{2} x^2 + x \end{align} は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 $A, B$ を任意定数として、 \begin{align} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x \end{align} が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。