東京工業大学 大学院
工学院 電気電子系
2022年度 数学

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2.

1)

a)

与えられた微分方程式 (2.1) の右辺を $0$ にした \begin{align} \frac{dy}{dx} + y = 0 \end{align} の一般解は、任意定数を $A$ として $y = Ae^{-x}$ である。 そこで、(2.1) に $y=A(x)e^{-x}$ を代入すると、 \begin{align} \frac{dA(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ A(x) &= x + C \end{align} を得る。 よって、 (2.1) の一般解は、 $C$ を任意定数として、 \begin{align} y &= (x + C)e^{-x} \end{align}

b)

$y=e^{\lambda x}$ を (2.2) に代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - 2 \lambda - 8 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda + 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -2, 4 \end{align} なので、 (2.2) の一般解は、 $A, B$ を任意定数として、 \begin{align} y = A e^{-2x} + B e^{4x} \end{align}

2)

a)

(2.3) で $\alpha=1$ とした方程式に、$y=Ce^{-x}$ を代入すると、 $C = -1/5$ となる。 よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、 \begin{align} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{5} e^{-x} \end{align}

b)

(2.3) で $\alpha=2$ とした方程式に、$y=Cxe^{-2x}$ を代入すると、 $C = -1/6$ となる。 よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、 \begin{align} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{6} xe^{-2x} \end{align}

[参考]

• 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」