\begin{align} \lim_{x \to \infty} \left\{ \log_e (2x+3) - \log_e (x) \right\} &= \lim_{x \to \infty} \log_e \left( 2 + \frac{3}{x} \right) \\ &= \log_e 2 \end{align}
\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x \cdot ( x + \cdots )} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{( 1 + 3x + \cdots ) - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x} \\ &= 3 \end{align}
\begin{align} \det \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \right] &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot 31 \det \begin{pmatrix} 11 & 11 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= 1 \cdot 31 \cdot 11 \\ &= 341 \end{align}
\begin{align} E(X) &= -4 \int_0^1 x^2 \log_e (x) dx \\ &= \frac{4}{9} \\ E(X^2) &= -4 \int_0^1 x^3 \log_e (x) dx \\ &= \frac{1}{4} \end{align} であるから、 \begin{align} V(X) &= \frac{1}{4} - \left( \frac{4}{9} \right)^2 \\ &= \frac{17}{324} \end{align} また、 $0 \leq x \leq 1$ について、 \begin{align} F_X(x) &= -4 \int_0^x y \log_e (y) dy \\ &= -2 x^2 \log_e(x) + x^2 \end{align}
\begin{align} \frac{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100}} { \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100} + \frac{999}{1000} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{11}{2231} \end{align}
ボールがポケットAに入る確率を $p$ とすると、 \begin{align} H_0 : p = \frac{1}{4} , \ \ \ \ H_1 : p \gt \frac{1}{4} \end{align} と表せる。 $H_0$ の下で、5回試行中4回Aに入る確率は、 \begin{align} {}_5 C_4 \left( \frac{1}{4} \right)^4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4^5} \end{align} であり、5回試行中5回Aに入る確率は、 \begin{align} {}_5 C_5 \left( \frac{1}{4} \right)^5 = \frac{1}{4^5} \end{align} であるから、p値は \begin{align} \frac{15}{4^5} + \frac{1}{4^5} = \frac{16}{4^5} = \frac{1}{64} \approx 0.0156 \end{align} となり、有意水準5%で、 $H_0$ は棄却され、 $H_1$ が採択される。