\begin{align} B^2 &= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ B^3 &= O \end{align}
複素数 $x,y,z$ について \begin{align} xI + yA + zA^2 &= O \tag{a} \end{align} が成り立つとする。 式 (a) に $A^2$ をかけると \begin{align} xA^2 + yA^3 + zA^4 &= O \end{align} となるが、 $A^2 \ne O, A^3 = O$ から $x=0$ がわかり、式 (a) は \begin{align} yA + zA^2 &= O \tag{b} \end{align} となる。 式 (b) に $A$ をかけると \begin{align} yA^2 + zA^3 &= O \end{align} となるが、 $A^2 \ne O, A^3 = O$ から $y=0$ がわかり、式 (b) は \begin{align} zA^2 &= O \end{align} となる。 $A^2 \ne O$ から $z=0$ がわかる。 式 (a) を仮定して $x=y=z=0$ を得たので、 $I,A,A^2$ は線形独立である。
$X$ の固有値を $\lambda$ とし、これに属する固有ベクトルを $\boldsymbol{v}$ （零ベクトルでない）とする： \begin{align} X \boldsymbol{v} &= \lambda \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{v} + A \boldsymbol{v} + 2A^2 \boldsymbol{v} &= \lambda \boldsymbol{v} \end{align} これに $A^2$ をかけると、 \begin{align} A^2 \boldsymbol{v} + A^3 \boldsymbol{v} + 2A^4 \boldsymbol{v} &= \lambda A^2 \boldsymbol{v} \\ \therefore \ \ A^2 \boldsymbol{v} &= \lambda A^2 \boldsymbol{v} \end{align} となるが、 $A^2 \ne O$ なので $A^2 \boldsymbol{v}$ は零ベクトルではなく、 $\lambda = 1$ を得る。 つまり、 $X$ の固有値はすべて $1$ である。
$Y=aI+bA+cA^2$ とすると、 \begin{align} XY = aI + (a+b)A + (2a+b+c) A^2 \end{align} なので、 $a=1, b=-1, c=-1$ のとき $XY=I$ となる。 したがって、 \begin{align} I - A - A^2 \end{align} は $X$ の逆行列である。