\begin{align} E(X_i) &= 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\ &= p \\ E(X_iX_j) &= E(X_i)E(X_j) \\ &= p^2 \end{align}
\begin{align} n &= \sum_{i=1}^N X_i \\ E(n) &= \sum_{i=1}^N E(X_i) \\ &= Np \\ E \left( n^2 \right) &= \sum_{i=1}^N E \left( X_i^2 \right) + \sum_{i,j \ (i \neq j)} E \left( X_i X_j \right) \\ &= Np + N(N-1)p^2 \\ V(n) &= E \left( n^2 \right) - E(n)^2 \\ &= Np + N(N-1)p^2 - N^2p^2 \\ &= Np(1-p) \end{align}
\begin{align} f(n) &= {}_NC_n p^n(1-p)^{N-n} \\ &= \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n} \end{align}
$ g(n) = \log f(n) $ とおくと、 \begin{align} g(n) &= \log f(n) \\ &= \log N! - \log n! - \log (N-n)! + n \log p + (N-n) \log (1-p) \\ &\sim N \log N - n \log n - (N-n) \log (N-n) + n \log p + (N-n) \log (1-p) \ \ \ \ \ \ \ \ (N \gg 1, \ n \gg 1, \ N-n \gg 1) \end{align} である。 $n$ が実数であるとして導関数を求めると、 \begin{align} g'(n) &= - \log n - 1 + \log (N-n) + 1 + \log p - \log (1-p) \\ &= \log \frac{(N-n)p}{n(1-p)} \end{align} となるので、以下の増減表を得る： \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline n & 0 & \cdots & Np & \cdots & N \\ \hline g' & & + & 0 & - & \\ \hline g & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline f & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array} よって、 $n_*=Np$ である。
3-3-3-2. の $g(n)$ の2階導関数は \begin{align} g''(n) &= - \frac{N}{n(N-n)} \end{align} であり、 \begin{align} g(n_*) &= 0 \\ g'(n_*) &= 0 \\ g''(n_*) &= - \frac{1}{Np(1-p)} \end{align} であるから、 $g(n)$ の $n=n_* (=Np)$ のまわりでの2次までのテイラー展開は \begin{align} g(n) &= - \frac{1}{2Np(1-p)} (n-Np)^2 + \cdots \end{align} である。 よって、 $n-Np$ が $\sqrt{Np(1-p)}$ 程度の範囲内において \begin{align} f(n) &= C e^{- \frac{(n-Np)^2}{2Np(1-p)}} \ \ \ \ \ \ \ \ (C \text{ は適当な定数 } ) \end{align} と書け、これは期待値 $Np$ 標準偏差 $\sqrt{Np(1-p)}$ の正規分布である。