$4x^2 + y^2 = 4, \ x \gt 0$ より、 \begin{align} x = \cos \theta, \ \ y = 2 \sin \theta, \ \ - \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{align} とおける。 このとき、 \begin{align} g(\theta) &= f(x,y) \\ &= 2 \tan \theta + \frac{1}{\cos^3 \theta} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{dg(\theta)}{d \theta} &= \frac{2}{\cos^2 \theta} + \frac{3 \sin \theta}{\cos^4 \theta} \\ &= - \frac{(\sin \theta - 2)(2 \sin \theta + 1)}{\cos^4 \theta} \\ &\begin{cases} \lt 0 & , - \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt - \frac{\pi}{6} \\ = 0 & , \theta = - \frac{\pi}{6} \\ \gt 0 & , - \frac{\pi}{6} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{align} であるから、 $\theta = -\pi/6$ すなわち $x=\sqrt{3}/2, \ y=-1$ のとき、 $f(x,y)$ は極小値 \begin{align} f \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 \right) = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \end{align} をとる。
\begin{align} \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dy \int_{x^2y+y^2}^y dz &= \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dy \left( -y^2 + \left( 1-x^2 \right) y \right) \\ &= \int_{-1}^1 dx \left[ - \frac{y^3}{3} + \left( 1-x^2 \right) \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x^2} \\ &= \frac{1}{6} \int_{-1}^1 dx \left( 1 - x^2 \right)^3 \\ &= \frac{1}{3} \int_0^1 dx \left( 1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 \right) \\ &= \frac{16}{105} \end{align}
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 4-\lambda & -1 \\ 1 & -1 & 4-\lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda-3)^2 (\lambda-6) \\ \therefore \ \ \lambda &= 3, 6 \end{align}
\begin{align} A \boldsymbol{v} &= \begin{pmatrix} 7s+1 \\ 2s-1 \\ s+4 \end{pmatrix} \end{align} なので、 $7s+1 = 2(2s-1)$ から $s=-1$ がわかる。 さらに、 $A \boldsymbol{v} = t \boldsymbol{v}$ から $t=s+4=3$ がわかる。