$4x^2 + y^2 = 4, \ x \gt 0$ より、 \begin{align} x = \cos \theta, \ \ y = 2 \sin \theta, \ \ - \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{align} とおける。 このとき、 \begin{align} g(\theta) &= f(x,y) \\ &= 2 \tan \theta + \frac{1}{\cos^3 \theta} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{dg(\theta)}{d \theta} &= \frac{2}{\cos^2 \theta} + \frac{3 \sin \theta}{\cos^4 \theta} \\ &= - \frac{(\sin \theta - 2)(2 \sin \theta + 1)}{\cos^4 \theta} \\ &\begin{cases} \lt 0 & , - \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt - \frac{\pi}{6} \\ = 0 & , \theta = - \frac{\pi}{6} \\ \gt 0 & , - \frac{\pi}{6} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{align} であるから、 $\theta = -\pi/6$ すなわち $x=\sqrt{3}/2, \ y=-1$ のとき、 $f(x,y)$ は極小値 \begin{align} f \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 \right) = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \end{align} をとる。