与えられた曲面上の点の位置ベクトルは \begin{align} \boldsymbol{p} &= \begin{pmatrix} x \\ y \\ xy+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \\ \frac{1}{2} r^2 \sin 2 \theta + 1 \end{pmatrix} & \left( 0 \leq r \leq 1, \ - \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right) \end{align} と書け、 \begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial r} &= \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ r \sin 2 \theta \end{pmatrix} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \theta} &= \begin{pmatrix} - r \sin \theta \\ r \cos \theta \\ r^2 \cos 2 \theta \end{pmatrix} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial r} \times \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \theta} &= \begin{pmatrix} r^2 \sin \theta \cos 2 \theta - r^2 \cos \theta \sin 2 \theta \\ - r^2 \sin 2 \theta \sin \theta - r^2 \cos 2 \theta \cos \theta \\ r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} - r \sin \theta \\ - r \cos \theta \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \left| \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial r} \times \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \theta} \right| &= r \sqrt{ r^2 + 1 } \end{align} なので、求める面積は \begin{align} S &= \int_0^1 dr \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d \theta \ r \sqrt{ r^2 + 1 } \\ &= \pi \int_0^1 dr \ r \sqrt{ r^2 + 1 } \\ &= \pi \left[ \frac{1}{3} \left( r^2 + 1 \right)^{3/2} \right]_0^1 \\ &= \frac{ 2 \sqrt{2} - 1 }{3} \pi \end{align} である。