\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) ,\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= 3y^2 - 6 \\ &= 3 \left( y + \sqrt{2} \right) \left( y - \sqrt{2} \right) \end{align} なので、求める点は \begin{align} (x,y) = \left( 1, -\sqrt{2} \right) , \left( 1, \sqrt{2} \right) , \left( 3, -\sqrt{2} \right) , \left( 3, \sqrt{2} \right) \end{align} である。
ヘッセ行列は \begin{align} H &= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6x-12 & 0 \\ 0 & 6y \end{pmatrix} \end{align} であり、対角行列であるから、対角成分の正負を見ればよい。
$(x,y) = \left( 1, -\sqrt{2} \right)$ のときは $6x-12 \lt 0, \ 6y \lt 0$ なので極大点である。
$(x,y) = \left( 1, \sqrt{2} \right)$ のときは $6x-12 \lt 0, \ 6y \gt 0$ なので極値とならない。
$(x,y) = \left( 3, -\sqrt{2} \right)$ のときは $6x-12 \gt 0, \ 6y \lt 0$ なので極値とならない。
$(x,y) = \left( 3, \sqrt{2} \right)$ のときは $6x-12 \gt 0, \ 6y \gt 0$ なので極小点である。
まとめると、 $(x,y) = \left( 1, -\sqrt{2} \right)$ のとき 極大値 $4 + 4 \sqrt{2}$ をとり、 $(x,y) = \left( 3, \sqrt{2} \right)$ のとき 極小値 $-4 \sqrt{2}$ をとる。