与えられた微分方程式を斉次にした \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} + 5y = 0 \end{align} の一般解は \begin{align} y(x) &= A \sin \left( \sqrt{5} x \right) + B \cos \left( \sqrt{5} x \right) &( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
また、与えられた微分方程式は次のように書ける： \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} + 5y = \frac{1}{2} \cos (2x) . \end{align} これの特殊解を求めるために、 $y=C \sin (2x) + D \cos (2x)$ （ $C,D$ は $x$ によらない定数）を代入して整理すると、 \begin{align} C \sin (2x) + \left( D - \frac{1}{2} \right) \cos (2x) = 0 \end{align} となり、 $C=0, D=1/2$ を得るので、 \begin{align} y(x) = \frac{1}{2} \cos (2x) \end{align} は特殊解である。
以上より、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y(x) &= A \sin \left( \sqrt{5} x \right) + B \cos \left( \sqrt{5} x \right) + \frac{1}{2} \cos (2x) &( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 このとき、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \sqrt{5} A \cos \left( \sqrt{5} x \right) - \sqrt{5} B \sin \left( \sqrt{5} x \right) - \sin (2x) \end{align} である。 初期条件は \begin{align} 0 &= y(0) = B + \frac{1}{2} ,\\ 0 &= \frac{dy}{dx}(0) = \sqrt{5} A \end{align} であるから、 $A=0, B=-1/2$ がわかる。 したがって、求める特殊解は \begin{align} y(x) &= - \frac{1}{2} \cos \left( \sqrt{5} x \right) + \frac{1}{2} \cos (2x) \end{align} である。