東京農工大学 大学院
工学府 情報工学専攻
2020年度 情報基礎 [2]

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[1]

\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}^{-1} &= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{align}

[2]

\begin{align} n! \end{align}

[3]

$S_5$ の恒等変換を $e$ とし、 \begin{align} \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align} とすると、次のように計算できる： \begin{align} \alpha^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ \alpha^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \alpha^{-2} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ \alpha^3 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \alpha^{-2} \end{align} よって、求める $S_5$ の部分群は、 $ \left\{ e, \alpha, \alpha^{-1}, \alpha^2, \alpha^{-2} \right\} $ である。