\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}^{-1} &= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} n! \end{align}
$S_5$ の恒等変換を $e$ とし、 \begin{align} \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align} とすると、次のように計算できる： \begin{align} \alpha^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ \alpha^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \alpha^{-2} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ \alpha^3 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \alpha^{-2} \end{align} よって、求める $S_5$ の部分群は、 $ \left\{ e, \alpha, \alpha^{-1}, \alpha^2, \alpha^{-2} \right\} $ である。
確率を $P$ で表す。
\begin{align} &P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) \\ &= P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = \frac{1}{6} \end{align} なので、 期待値を $E$ で表すと、 \begin{align} E(X) &= \sum_{x=1}^6 x P(X=x) \\ &= \frac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} \\ &= \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \\ E(X^2) &= \sum_{x=1}^6 x^2 P(X=x) \\ &= \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2}{6} \\ &= \frac{91}{6} \end{align} であり、 \begin{align} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 = \frac{35}{12} \end{align} である。
\begin{align} &P(Y=1) = P(Y=2) = \frac{1}{2} \end{align} なので、 \begin{align} H(Y) &= \sum_{y=1}^2 P(Y=y) \log_2 \frac{1}{P(Y=y)} \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 2 \\ &= 1 \end{align}
\begin{align} H(X) &= \sum_{x=1}^6 P(X=x) \log_2 \frac{1}{P(X=x)} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{6} \log_2 6 \\ &= 1 + \log_2 3 \end{align}
\begin{align} P(X=1 \mid Y=1) &= P(X=3 \mid Y=1) = P(X=5 \mid Y=1) = 0 \\ P(X=2 \mid Y=1) &= P(X=4 \mid Y=1) = P(X=6 \mid Y=1) = \frac{1}{3} \\ P(X=1 \mid Y=2) &= P(X=3 \mid Y=2) = P(X=5 \mid Y=2) = \frac{1}{3} \\ P(X=2 \mid Y=2) &= P(X=4 \mid Y=2) = P(X=6 \mid Y=2) = 0 \end{align} であるから、 \begin{align} H (X \mid Y) &= \sum_{y=1}^2 P(Y=y) \sum_{x=1}^6 P(X=x \mid Y=y) \log_2 \frac{1}{P(X=x \mid Y=y)} \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 3 \\ &= \log_2 3 \end{align} を得る。
\begin{align} P(X=1 , Y=1) &= P(X=3 , Y=1) = P(X=5 , Y=1) = 0 \\ P(X=2 , Y=1) &= P(X=4 , Y=1) = P(X=6 , Y=1) = \frac{1}{6} \\ P(X=1 , Y=2) &= P(X=3 , Y=2) = P(X=5 , Y=2) = \frac{1}{6} \\ P(X=2 , Y=2) &= P(X=4 , Y=2) = P(X=6 , Y=2) = 0 \end{align} であるから、 \begin{align} I (X ; Y) &= \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^2 P(X=x,Y=y) \log_2 \frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x) P(Y=y)} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{6} \log_2 \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}} \\ &= 1 \end{align} を得る。
（別解） \begin{align} I(X;Y) &= H(X) - H(X \mid Y) \\ &= (1 + \log_2 3) - \log_2 3 \\ &= 1 \end{align}