過程 A は可逆的な断熱過程なので、 \begin{align} T_1 V_1^{\gamma - 1} &= T_2 V_2^{\gamma - 1} \\ \therefore \ \ T_2 &= \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} T_1 \\ &= \varepsilon^{\gamma - 1} T_1 \end{align} が成り立つ。 過程 B は等積過程であり、 気体が受け取る熱量 $Q_B$ は内部エネルギーの増加分に等しいので、 \begin{align} Q_B &= m c_v \left( T_3 - T_2 \right) \\ &= m c_v \left( T_3 - \varepsilon^{\gamma - 1} T_1 \right) \end{align} である。
過程 C は可逆的な断熱過程なので、 \begin{align} T_3 V_2^{\gamma - 1} &= T_4 V_1^{\gamma - 1} \\ \therefore \ \ T_4 &= \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} T_3 \\ &= \varepsilon^{- \gamma + 1} T_3 \end{align} が成り立つ。 過程 D は等積過程であり、 気体が失う熱量 $Q_D$ は内部エネルギーの減少分に等しいので、 \begin{align} Q_B &= m c_v \left( T_4 - T_1 \right) \\ &= m c_v \left( \varepsilon^{- \gamma + 1} T_3 - T_1 \right) \end{align} である。
過程 A は可逆的な断熱過程であり、 気体が外部にする仕事 $W_A$ は内部エネルギーの減少分に等しいので、 \begin{align} W_A &= m c_v \left( T_1 - T_2 \right) \\ &= m c_v \left( 1 - \varepsilon^{\gamma - 1} \right) T_1 \end{align} である。 過程 C は可逆的な断熱過程であり、 気体が外部にする仕事 $W_C$ は内部エネルギーの減少分に等しいので、 \begin{align} W_C &= m c_v \left( T_3 - T_4 \right) \\ &= m c_v \left( 1 - \varepsilon^{- \gamma + 1} \right) T_3 \end{align} である。 よって、 \begin{align} W &= W_A + W_C \\ &= m c_v \left( \left( 1 - \varepsilon^{\gamma - 1} \right) T_1 + \left( 1 - \varepsilon^{- \gamma + 1} \right) T_3 \right) \end{align} である。
\begin{align} \frac{dW}{d \varepsilon} &= m c_v \left( - (\gamma - 1) \varepsilon^{\gamma - 2} T_1 - (- \gamma + 1) \varepsilon^{- \gamma} T_3 \right) \\ &= m c_v (\gamma - 1) \left( - \varepsilon^{\gamma - 2} T_1 + \varepsilon^{- \gamma} T_3 \right) \end{align} であり、 $\gamma \ne 1$ なので、 $dW/d \varepsilon = 0$ となるのは、 \begin{align} \varepsilon^{\gamma - 2} T_1 &= \varepsilon^{- \gamma} T_3 \\ \therefore \ \ \varepsilon^{2 \gamma - 2} &= \frac{T_3}{T_1} \\ \therefore \ \ \varepsilon &= \left( \frac{T_3}{T_1} \right)^\frac{1}{2 (\gamma - 1)} \end{align} のときであり、これが求める $\varepsilon$ である。
\begin{align} T_2 &= \varepsilon^{\gamma - 1} T_1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because [1] ) \\ &= \left( \frac{T_3}{T_1} \right)^\frac{1}{2} T_1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because [4] ) \\ &= \sqrt{ T_1 T_3} , \\ T_4 &= \varepsilon^{- \gamma + 1} T_3 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because [2] ) \\ &= \left( \frac{T_3}{T_1} \right)^{- \frac{1}{2}} T_3 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because [4] ) \\ &= \sqrt{ T_1 T_3} \end{align}