\begin{align} \mathrm{rot} \boldsymbol{F} &= \begin{pmatrix} 0-0 \\ 0-0 \\ \sinh x \cos y + 3x^2 - (\sinh x \cos y + 2y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3x^2 - 2y \end{pmatrix} \end{align}
$C$ で囲まれる三角形を $S$ とし、z軸方向の単位ベクトルを $\boldsymbol{k}$ とする。 ストークスの定理より、 \begin{align} \int_C \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} &= \int_S \mathrm{rot} \boldsymbol{F} \cdot (- \boldsymbol{k}) dS \\ &= - \int_0^1 dx \int_0^x dy \left( 3x^2-2y \right) \\ &= - \int_0^1 dx \left( 3x^3 - x^2 \right) \\ &= - \left[ \frac{3}{4} x^4 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= - \frac{5}{12} \end{align} を得る。