東京都立大学 大学院
理学研究科 物理学専攻
2022年8月実施 数学 問1

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1-1)

$\hbar$ の2乗までで次のように計算できる： \begin{align} \exp \left( - \hbar \hat{A} \right) &\simeq \hat{I} - \hbar \hat{A} + \frac{1}{2} \hbar^2 \hat{A}^2 \\ \exp \left( \hbar \hat{A} + \hbar \hat{B} \right) &\simeq \hat{I} - \hbar \left( \hat{A} + \hat{B} \right) + \frac{1}{2} \hbar^2 \left( \hat{A} + \hat{B} \right)^2 \\ &= \hat{I} - \hbar \left( \hat{A} + \hat{B} \right) + \frac{1}{2} \hbar^2 \left( \hat{A}^2 + \hat{B}^2 + \hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A} \right) \\ &= \hat{I} - \hbar \left( \hat{A} + \hat{B} \right) + \frac{1}{2} \hbar^2 \left( \hat{A}^2 + \hat{B}^2 + 2 \hat{A} \hat{B} - c \hat{I} \right) \\ \exp \left( - \hbar \hat{B} \right) &\simeq \hat{I} - \hbar \hat{B} + \frac{1}{2} \hbar^2 \hat{B}^2 \end{align}

1-2)

$\hbar$ の2乗までで次のように計算できる： \begin{align} &\exp \left( - \hbar \hat{A} \right) \exp \left( \hbar \hat{A} + \hbar \hat{B} \right) \exp \left( - \hbar \hat{B} \right) \\ &\simeq \left( \hat{I} - \hbar \hat{A} + \frac{1}{2} \hbar^2 \hat{A}^2 \right) \left( \hat{I} - \hbar \left( \hat{A} + \hat{B} \right) + \frac{1}{2} \hbar^2 \left( \hat{A}^2 + \hat{B}^2 + 2 \hat{A} \hat{B} - c \hat{I} \right) \right) \left( \hat{I} - \hbar \hat{B} + \frac{1}{2} \hbar^2 \hat{B}^2 \right) \\ &\simeq \left( 1 - \frac{1}{2} c \hbar^2 \right) \hat{I} \end{align}