\begin{align} f'(x) &= \frac{-x^2+3}{(x^2+3)^2} \\ &= \frac{-(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x^2+3)^2} \end{align} なので、増減表は次の通りである： \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & \sqrt{3} & \cdots & \infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -\frac{1}{2\sqrt{3}} & \nearrow & \frac{1}{2\sqrt{3}} & \searrow & 0 \\ \hline \end{array} また、 \begin{align} f''(x) &= \frac{2x(x^2-9)(x^2+3)}{(x^2+3)^4} \\ f''(\sqrt{3}) &= - \frac{1}{6 \sqrt{3}} \end{align} である。 よって、 $f(x)$ の最大値は $f(\sqrt{3}) = 1/(2 \sqrt{3})$ であり、 最大点 $x = \sqrt{3}$ まわりでの2次の項までのテーラー展開は、 \begin{align} f(\sqrt{3}) + f'(\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) + \frac{1}{2} f''(\sqrt{3})(x-\sqrt{3})^2 = \frac{1}{2 \sqrt{3}} - \frac{1}{12 \sqrt{3}} (x-\sqrt{3})^2 \end{align} である。