まず、 \begin{align} f(x) &= \mathrm{min} \left\{ 2x, x+1 \right\} \\ &= \begin{cases} 2x &(x \leq 1) \\ x+1 &(x \gt 1) \end{cases} \end{align} である。 $ 0 \leq t \leq 1 $ とする。 $x_1 \leq x_2 \leq 1$ のとき \begin{align} f((1-t)x_1+tx_2) &= 2((1-t)x_1+tx_2) \\ (1-t)f(x_1)+tf(x_2) &= 2(1-t)x_1 + 2tx_2 \end{align} であり、 $x_1 \lt 1 \lt x_2 $ のとき \begin{align} f((1-t)x_1+tx_2) &= \begin{cases} 2((1-t)x_1+tx_2) &((1-t)x_1+tx_2 \leq 1) \\ (1-t)x_1+tx_2+1 &(1 \lt (1-t)x_1+tx_2) \end{cases} \\ (1-t)f(x_1)+tf(x_2) &= 2(1-t)x_1 + t(x_2+1) \end{align} であり、 $1 \leq x_1 \leq x_2$ のとき \begin{align} f((1-t)x_1+tx_2) &= (1-t)x_1+tx_2 + 1 \\ (1-t)f(x_1)+tf(x_2) &= (1-t)(x_1+1) + t(x_2+1) \end{align} であるから、任意の $x_1,x_2$ について \begin{align} f((1-t)x_1+tx_2) \geq (1-t)f(x_1)+tf(x_2) \end{align} が成り立つ。 よって、 $f(x)$ は凹関数である。