累積分布関数 $F(x)$ に対応する確率密度関数は、 \begin{align} f(x) &= \frac{dF(x)}{dx} \\ &= \begin{cases} 0 &(x \lt 0) \\ 7x^6 &(0 \leq x \lt 1) \\ 0 &(1 \leq x) \end{cases} \end{align} である。
\begin{align} E(X_1) &= 7 \int_0^1 x^7 dx \\ &= \frac{7}{8} \end{align}
\begin{align} E(X_2^3) &= 7 \int_0^1 x^9 dx \\ &= \frac{7}{10} \\ E(Y) &= E(X_1) + 5 E(X_2^3) \\ &= \frac{35}{8} \end{align}
\begin{align} E(X_1^2) &= 7 \int_0^1 x^8 dx \\ &= \frac{7}{9} \\ E(Z) &= 2 \left( E(X_1^2) + 5 E(X_1) E(X_2^3) \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( X_1, X_2 \text{ が独立であることを使った} ) \\ &= \frac{553}{72} \end{align}