東北大学 大学院 医工学研究科
2022年秋季実施 数学基礎 問題1

• 問題はこちらから入手してください。
• 以下の解答はドラフト版です。
• 環境によっては、数式の表示に時間がかかる場合があります。

ロピタルの定理を使って次のように計算できる。

(1)

\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos x} \\ &= 2 \end{align}

(2)

\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{\log x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \\ &= 0 \end{align}

(3)

\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^2+1}}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ &= 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} \\ &= 0 \end{align}