$t = \sqrt{x}$ として、 \begin{align} f(t) &= \left( 2t - t^4 \right) - t^2 \\ &= - t^4 - t^2 + 2t \\ &= -t(t-1) \left( t^2 + t + 2 \right) \end{align} とおくと、 $f(t)=0$ となるのは $t=0,1$ のときであることがわかる。 また、これを $t$ で微分すると \begin{align} f'(t) &= - 4 t^3 - 2 t + 2 \end{align} であり、 $f'(0)=2 \gt 0, f'(1)=-4 \lt 0$ であるから、 $0 \leq t \leq 1$ において $f(t) \geq 0$ である。 よって、求める面積は、 \begin{align} \int_0^1 \left( 2 \sqrt{x} - x^2 - x \right) dx &= \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} \end{align} である。