$f(x)$ の $1, 2, k (=3,4,\cdots)$ 階導関数をそれぞれ $f'(x), f''(x), f^{(k)}(x)$ と書く。
\begin{align} f'(x) &= \frac{e^x}{e^x + 1}, \\ f''(x) &= \frac{e^x}{\left( e^x + 1 \right)^2}, \\ f(0) &= \log_e(2), \\ f'(0) &= \frac{1}{2}, \\ f''(0) &= \frac{1}{4} \end{align} なので、 $f(x)$ の第三項までのマクローリン展開は \begin{align} f(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \cdots \\ &= \log_e(2) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^2 + \cdots \end{align} である。
\begin{align} f(x) &= \sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \cos \left( 3x \right), \\ f'(x) &= -3 \sin \left( 3x \right), \\ f''(x) &= -9 \cos \left( 3x \right), \\ f^{(3)}(x) &= 27 \sin \left( 3x \right), \\ f^{(4)}(x) &= 81 \cos \left( 3x \right), \\ f(0) &= 1, \\ f'(0) &= 0, \\ f''(0) &= -9, \\ f^{(3)}(0) &= 0, \\ f^{(4)}(0) &= 81 \end{align} なので、 $f(x)$ の第三項までのマクローリン展開は \begin{align} f(x) &= f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2}f''(0) x^2 + \frac{1}{6} f^{(3)} x^3 + \frac{1}{24} f^{(4)} x^4 + \cdots \\ &= 1 - \frac{9}{2} x^2 + \frac{27}{8} x^4 + \cdots \end{align} である。