$B$ の固有値を $b$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -b & 1 & 0 \\ 1 & -b & 1 \\ 0 & 1 & -b \end{pmatrix} \\ &= -b^3 + 2b \\ &= -b (b^2 - 2) \\ \therefore \ \ b &= 0, \pm \sqrt{2} \end{align} である。
$C$ の固有値を $c$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -c & 1 & 1 \\ 1 & -c & 1 \\ 1 & 1 & -c \end{pmatrix} \\ &= -c^3 + 2 + 3c \\ &= - (c+1)^2(c-2) \\ \therefore \ \ c &= -1, 2 \end{align} である。
$C$ は実対称行列なので、適当な直交行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を使って、 \begin{align} C = P \tilde{C} P^{-1} , \ \ \ \ \tilde{C} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align} と書ける。 行列の対角成分の和を $\mathrm{tr}$ と書くと、 \begin{align} \mathrm{tr} \left( C^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( P \tilde{C}^3 P^{-1} \right) \\ &= \mathrm{tr} \left( \tilde{C}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \\ &= 6 \end{align} である。
\begin{align} D &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align} であり、 $D$ の固有値を $d$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -d & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -d & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -d & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -d \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 0 & 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - \det \begin{pmatrix} 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \left( \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= - (d+1)^5 \left( - \det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= -(d+1)^5 \left( 1 + 1 + (1-d) + 2 \right) \\ &= (d+1)^5 (d-5) \\ \therefore \ \ d &= -1, 5 \end{align} である。 そこで、 \begin{align} \tilde{D} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{align} とおいて、 (2) と同様に考えると、 \begin{align} \mathrm{tr} \left( D^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( \tilde{D}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 125 \end{pmatrix} \\ &= 120 \end{align} がわかる。