\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} &= 2x \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= 2y+2 \end{align}
ガウスの発散定理より、 \begin{align} \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} dV \\ &= \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dz \int_0^1 dy \ (2y+2) \\ &= \int_{-1}^1 dx \left( 1-x^2 \right) \left[ y^2 + 2y \right]_{y=0}^{y=1} \\ &= 6 \int_0^1 dx \left( 1-x^2 \right) \\ &= 6 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=1} \\ &= 4 \end{align} である。
$S'$ 上の位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ は \begin{align} \boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + \left( 1 - x^2 \right) \boldsymbol{k} \ \ \ \ \left( -1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 1 \right) \end{align} と表せるので、 $S'$ 上で \begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} &= \boldsymbol{i} - 2x \boldsymbol{k} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= \boldsymbol{j} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= 2x \boldsymbol{i} + \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{A} \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} \right) &= 2x^2 + 2xyz + z + xy \\ &= -2x^3y + x^2 + 3xy + 1 \end{align} である。 よって、ストークスの定理より、 \begin{align} \int_{\partial S'} \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} &= \int_{-1}^1 dx \int_0^1 dy \left( -2x^3y + x^2 + 3xy + 1 \right) \\ &= 2 \int_0^1 dx \int_0^1 dy \left( x^2 + 1 \right) \\ &= 2 \int_0^1 dx \left( x^2 + 1 \right) \\ &= 2 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 \\ &= \frac{8}{3} \end{align} である。