\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2 \tan x} &= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\frac{1}{\cos^2 x}} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty x e^{-2x} \ dx &= - \frac{1}{2} \left[ x e^{-2x} \right]_0^\infty + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-2x} \ dx \\ &= - \frac{1}{4} \left[ e^{-2x} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{4} \end{align}
$x^2+2y^2-1=0$ より \begin{align} x = \cos \theta, \ \ y = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \ \ \ \ ( 0 \leq \theta \lt 2 \pi ) \end{align} と書けるので、 $f=x-2y$ は \begin{align} f &= x - 2y \\ &= \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta \\ &= \sqrt{3} \sin (\theta + \alpha) &( 0 \leq \alpha \lt 2 \pi ) \end{align} と書ける。 よって、 $f=x-2y$ の極小値は $- \sqrt{3}$ で極大値は $\sqrt{3}$ である。