$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & 1-a \\ 1+a & -a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= ( \lambda + 1 )( \lambda - 1 ) \\ \therefore \ \ \lambda &= \pm 1 \end{align} となる。
固有値 $-1$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} a+1 & 1-a \\ 1+a & -a+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $(a+1)u=(a-1)v$ を得るので、固有ベクトルとして、例えば \begin{align} \begin{pmatrix} a-1 \\ a+1 \end{pmatrix} \end{align} がある。
固有値 $1$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} a-1 & 1-a \\ 1+a & -a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $u=v$ を得るので、固有ベクトルとして、例えば \begin{align} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がある。
\begin{align} A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} なので、 $n$ が奇数のときは \begin{align} A^n = A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1+a & -a \end{pmatrix} \end{align} であり、 $n$ が偶数のときは \begin{align} A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} である。
\begin{align} \begin{pmatrix} A^{2n} & A^{2n+1} \\ A^{2n+1} & A^{2n} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & 1-a & 1 & 0 \\ 1+a & -a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a & 1-a \\ 0 & 1 & 1+a & -a \end{pmatrix} &\left( = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} & \boldsymbol{c} & \boldsymbol{d} \end{pmatrix} \text{ とおく } \right) \end{align} $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ が1次独立であるのは明らかであり、 \begin{align} \boldsymbol{c} &= a \boldsymbol{a} + (1+a) \boldsymbol{b} ,\\ \boldsymbol{d} &= (1-a) \boldsymbol{a} - a \boldsymbol{b} \end{align} であるから、求めるランクは $2$ である。