\begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 2 \pi \end{align}
\begin{align} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos nx dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x \sin nx \right]_0^{2 \pi} - \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \sin nx dx \\ &= 0 \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin nx dx \\ &= - \frac{1}{n \pi} \left[ x \cos nx \right]_0^{2 \pi} + \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \cos nx dx \\ &= - \frac{2}{n} \end{align}
(a), (b) より、 $0 \lt x \lt 2 \pi$ のとき、 \begin{align} x &= \pi + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{2}{n} \right) \sin nx \\ &= \pi - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} \end{align} したがって、 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2} \end{align} が成り立つことがわかる。