$r \lt a$ では、導体の内部であるから、 \begin{align} E(r) = 0 \end{align} である。 $ a \lt r \lt b $ では、ガウスの法則より、 \begin{align} 4 \pi r^2 E(r) &= \frac{Q_1}{\varepsilon_0} \\ \therefore \ \ E(r) &= \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \end{align} である。 $ b \lt r \lt c $ では、導体の内部であるから、 \begin{align} E(r) = 0 \end{align} である。 $ c \lt r $ では、ガウスの法則より、 \begin{align} 4 \pi r^2 E(r) &= \frac{Q_1+Q_2}{\varepsilon_0} \\ \therefore \ \ E(r) &= \frac{Q_1+Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \end{align} である。
\begin{align} V_c &= - \int_\infty^c E(r) dr \\ &= - \frac{Q_1+Q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_\infty^c \frac{dr}{r^2} \\ &= \frac{Q_1+Q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r} \right]_\infty^c \\ &= \frac{Q_1+Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 c} ,\\ V_a &= V_c - \int_\infty^c E(r) dr \\ &= V_c - \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_b^a \frac{dr}{r^2} \\ &= V_c + \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r} \right]_b^a \\ &= \frac{Q_1+Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 c} + \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \end{align}
$V_c=0$ であるから、導体球殻2の内側に $-Q_1$ の電荷が分布する。 $a \lt r \lt b$ における $E(r)$ に変化はないから、 \begin{align} V_a &= \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \end{align} であり、 \begin{align} C &= \frac{Q_1}{V_a} \\ &= \frac{4 \pi \varepsilon_0}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \end{align} である。
導体球殻2の電荷 $Q_2$ のうち、内側に $q$ 、外側に $Q_2-q$ が分布したとする。 導体球殻2の内部で電場はないから、導体球1の外側に $-q$ の電荷が分布する。 このとき、 (1), (2) と同じように考えて、 \begin{align} V_c &= \frac{Q_2-q}{4 \pi \varepsilon_0 c} ,\\ V_a &= V_c - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \\ &= \frac{Q_2-q}{4 \pi \varepsilon_0 c} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \end{align} がわかる。 よって、 $V_a=0$ から、 \begin{align} \frac{Q_2-q}{c} &= q \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \\ \therefore \ \ Q_2 &= \left( \frac{c}{a} - \frac{c}{b} + 1 \right) q \\ &= \frac{bc - ac + ab}{ab} q \\ \therefore \ \ q &= \frac{ab}{bc - ac + ab} Q_2 \\ \therefore \ \ Q_2 - q &= \frac{bc - ac}{bc - ac + ab} Q_2 \\ \therefore \ \ V_c &= \frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{b - a}{bc - ac + ab} \end{align} がわかり、 \begin{align} C' &= \frac{Q_2}{V_c} \\ &= 4 \pi \varepsilon_0 \frac{bc - ac + ab}{b - a} \end{align} がわかる。