\begin{align} E(Y) &= \int_0^1 g(x) dx \\ &= m \\ E(Z) &= \frac{1}{2} \int_0^1 (g(x) + g(1-x)) dx \\ &= \frac{1}{2} m + \frac{1}{2} \int_0^1 g(\xi) d \xi \ \ \ \ \ \ \ \ (\xi = 1-x) \\ &= m \\ V(Y) &= E(Y^2) - E(Y)^2 \\ &= \int_0^1 g(x)^2 dx - m^2 \\ V(Z) &= E(Z^2) - E(Z)^2 \\ &= \frac{1}{4} \int_0^1 (g(x)+g(1-x))^2 dx - m^2 \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 g(x)^2 dx + \frac{1}{2} \int_0^1 g(x)g(1-x) dx - m^2 \end{align}
$g$ が単調増加であるとし、 $x \leq y$ とすると、 $1-x \geq 1-y$ であり、 \begin{align} g(x) \leq g(y) , \ \ \ \ g(1-x) \geq g(1-y) \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \ \ g(x) - g(y) \leq 0 , \ \ \ \ g(1-x) - g(1-y) \geq 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \ \ (g(x) - g(y)) (g(1-x) - g(1-y)) \leq 0 \end{align} を得る。 $g$ が単調増加であるとし、 $x \geq y$ とすると、 $1-x \leq 1-y$ であり、 \begin{align} g(x) \geq g(y) , \ \ \ \ g(1-x) \leq g(1-y) \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \ \ g(x) - g(y) \geq 0 , \ \ \ \ g(1-x) - g(1-y) \leq 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \ \ (g(x) - g(y)) (g(1-x) - g(1-y)) \leq 0 \end{align} を得る。 $g$ が単調減少の場合も同様にして示せる。
$g$ に対する条件より、 \begin{align} m = g(\alpha) , \ \ \ \ 0 \leq \alpha \leq 1 \end{align} なる $\alpha$ が存在する。 (2) で示した不等式において $y = \alpha$ として整理すると、 \begin{align} g(x) g(1-x) &\leq g(x) g(1-\alpha) + g(\alpha) g(1-x) - g(\alpha) g(1-\alpha) \\ &= g(1-\alpha) g(x) + m g(1-x) - m g(1-\alpha) \\ \therefore \ \ \ \ \int_0^1 g(x) g(1-x) dx &\leq g(1-\alpha) \int_0^1 g(x) dx + m \int_0^1 g(1-x) dx - m g(1-\alpha) \\ &= m g(1-\alpha) + m^2 - m g(1-\alpha) \\ &= m^2 \end{align} を得る。
\begin{align} C &= \int_0^1 g(x)^2 dx \\ D &= \int_0^1 g(x) g(1-x) dx \end{align} とおくと、(1) より、 \begin{align} V(Y) &= C - m^2 \\ V(Z) &= \frac{1}{2} C + \frac{1}{2} D - m^2 \end{align} であり、 (2) より、 \begin{align} D \leq m^2 \end{align} である。 そこで、与えられた $A_n, B_n$ の分散を計算すると、 \begin{align} V(A_n) &= \frac{1}{4n^2} \sum_{i=1}^{2n} V(g(X_i)) \\ &= \frac{1}{2n} V(Y) \\ &= \frac{1}{2n} (C - m^2) \\ V(B_n) &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V \left( \frac{g(X_i)+g(1-X_i)}{2} \right) \\ &= \frac{1}{n} V(Z) \\ &= \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} C + \frac{1}{2} D - m^2 \right) \end{align} であり、 \begin{align} V(B_n) - V(A_n) &= \frac{1}{2n} (D - m^2) \\ &\leq 0 \end{align} であるから、 $B_n$ の方が有効な推定量である。