単位円板 $\Omega$ の面積は $\pi$ であるから、 $X, Y$ の同時密度関数 $f(x,y)$ は、 \begin{align} f(x,y) = \frac{1}{\pi} \ \ \ \ \left( (x,y) \in \Omega \right) \end{align} である。 よって、 \begin{align} f_X(x) &= \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y) dy \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \\ &= \frac{2}{\pi} \sqrt{1 - x^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( -1 \leq x \leq 1 ) \end{align} である。
$f_X(x)$ は 偶関数であるから、明らかに、 \begin{align} E[X] = 0 \end{align} である。 また、 \begin{align} E[X^2] &= \int_{-1}^1 x^2 f_X(x) dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d \theta \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \sin \theta ) \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 2 \theta d \theta \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \frac{1 - \cos 4 \theta}{2} d \theta \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4 \theta \right]_0^{\pi / 2} \\ &= \frac{1}{4} \end{align} であるから、 \begin{align} V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= \frac{1}{4} \end{align} である。
$E[X] = 0$ と同様に $E[Y] = 0$ である。 また、 $ E[XY] = 0 $ でもある。 よって、 \begin{align} \text{Cov} (X, Y) = 0 \end{align} である。
$Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ は (1) と同様にして、 \begin{align} f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{ 1 - y^2 } \ \ \ \ \ \ \ \ ( -1 \leq y \leq 1 ) \end{align} である。 よって、 \begin{align} f(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y) \end{align} であるから、 $X,Y$ は独立でない。