\begin{align} E[X] = 0, V[X] = \frac{1}{3}, E[Y] = 0, V[Y] = \frac{1}{3} \end{align} であるから、 \begin{align} E[Z] = E[X] + E[Y] = 0 \end{align} であり、また、 $X,Y$ が独立であることを考慮して、 \begin{align} V[Z] = V[X] + V[Y] = \frac{2}{3} \end{align} である。
$u \leq -2$ のときは、 \begin{align} P(Z \leq u) = 0 \end{align} である。
$-2 \leq u \leq 0$ のときは、 \begin{align} P(Z \leq u) = \frac{\frac{1}{2} (2+u)^2}{4} = \frac{(u+2)^2}{8} \end{align} である。
$0 \leq u \leq 2$ のときは、 \begin{align} P(Z \leq u) = 1 - \frac{\frac{1}{2} (2-u)^2}{4} = \frac{-u^2+4u+4}{8} \end{align} である。
$2 \leq u$ のときは、 \begin{align} P(Z \leq u) = 1 \end{align} である。
求める確率密度関数を $f(u)$ とする。
$u \leq -2$ のときは、 \begin{align} f(u) = 0 \end{align} である。
$-2 \leq u \leq 0$ のときは、 \begin{align} f(u) = \frac{d}{du} \frac{(u+2)^2}{8} = \frac{u+2}{4} \end{align} である。
$0 \leq u \leq 2$ のときは、 \begin{align} f(u) = \frac{d}{du} \frac{-u^2+4u+4}{8} = \frac{-u+2}{4} \end{align} である。
$2 \leq u$ のときは、 \begin{align} f(u) = 0 \end{align} である。