$t = f^{-1}(x)$ とおくと、 $x=f(t), \ dx=f'(t)dt$ であり、次のように計算できる： \begin{align} \int_5^{10} f^{-1}(x) dx &= \int_{10}^3 t f'(t) dt \\ &= \left[ t f(t) \right]_{10}^3 - \int_{10}^3 f(t) dt \\ &= 3 \cdot 10 - 10 \cdot 5 + 42.5 \\ &= 22.5 \end{align}
\begin{align} J' + 2J^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^3 &= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} なので、自然数 $n$ について次が成り立つことがわかる： \begin{align} \left( J' + 2J^2 \right)^{3n} &= 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}