\begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty \left| \varphi_0(x) \right|^2 dx \\ &= \left| A \right|^2 \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - 2 \alpha x^2 \right) dx \\ &= \left| A \right|^2 \left( \frac{\pi}{2 \alpha} \right)^\frac{1}{2} \end{align} なので、 \begin{align} A = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \end{align} とすればよい。
\begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_0(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_0(x) = E_0 \varphi_0(x) \end{align}
問 2 のシュレディンガー方程式に $\varphi_0(x) = A \exp (-\alpha x^2)$ を代入して整理すると、 次のようになる： \begin{align} \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \left( 1 - 2 \alpha x^2 \right) + v(x) = E_0 \end{align} よって、 $v(0)=0$ を考慮すると、 \begin{align} \begin{cases} E_0 = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \\ v(x) = - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2}{m} x^2 \end{cases} \end{align} が得られ、 $v(x)$ が $x$ について2次関数であることがわかる。
問 3 より、 \begin{align} k &= \frac{4 \hbar^2 \alpha^2}{m} \\ \therefore \ \ \alpha &= \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar} \end{align} がわかる。
問 3, 4 より、 \begin{align} E_0 &= \frac{\hbar^2}{m} \cdot \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar} \\ &= \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align} がわかる。
$\varphi_1(x)$ に対するシュレディンガー方程式 \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_1(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_1(x) = E_1 \varphi_1(x) \end{align} に $\varphi_1(x) = Bx \exp( - \alpha x^2)$ を代入して整理すると、 \begin{align} E_1 &= \frac{3\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align} を得る。