楕円に内接する長方形の頂点の座標を $(x,y)$ ただし $x,y \gt 0$ とすると、 \begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{A} \end{align} が成り立ち、長方形の面積は \begin{align} S = 4xy \end{align} である。 そこで、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、 \begin{align} T &= S - \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 \right) \\ &= 4xy - \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 \right) \end{align} とおき、 \begin{align} 0 &= \frac{\partial T}{\partial x} = 4y - \frac{2 \lambda}{a^2} x \tag{B} , \\ 0 &= \frac{\partial T}{\partial y} = 4x - \frac{2 \lambda}{a^2} y \tag{C} \end{align} とおく。 式 (A), (B), (C) から \begin{align} \lambda = 2ab, \ \ x = \frac{a}{\sqrt{2}}, \ \ y = \frac{b}{\sqrt{2}} \end{align} が得られるので、求める最大値は \begin{align} 4 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = 2ab \end{align} である。
\begin{align} I^2 &= \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx \int_{-\infty}^\infty e^{-ay^2} dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \ e^{-a(x^2+y^2)} \\ &= \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\infty dr \ r e^{-ar^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = r \cos \theta , \ y = r \sin \theta ) \\ &= 2 \pi \left[ - \frac{1}{2a} e^{-ar^2} \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{a} \end{align}
時刻 $T$ までに故障する確率は \begin{align} F(T) &= \int_0^T p(t) dt \\ &= \lambda \int_0^T \exp (- \lambda t) dt \\ &= - \left[ \exp (- \lambda t) \right]_0^T \\ &= 1 - \exp (- \lambda T) \end{align} であるから、求める確率は \begin{align} 1 - F(T) &= \exp (- \lambda T) \end{align} である。
(i) の $F$ を使って、求める条件付き確率は次のように計算できる： \begin{align} \frac{F(T + \Delta T) - F(T)}{1 - F(T)} &= 1 - \exp ( - \lambda \Delta T ) \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty t p(t) dt &= \lambda \int_0^\infty t \exp (- \lambda t) dt \\ &= - \left[ t \exp (- \lambda t) \right]_0^\infty + \int_0^\infty \exp (- \lambda t) dt \\ &= \left[ - \frac{1}{\lambda} \exp (- \lambda t) \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align}