$W$ は3次元であり、例えば、 \begin{align} A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} は $W$ の基底である。 $V$ は9次元であり、例えば、上の $A_1, A_2, A_3$ と \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} を合わせて $V$ の基底となる。
任意の $A \in W$ について ${}^t A = -A$ であるから、 \begin{align} {}^t f(A) &= {}^t ({}^t R A R) \\ &= {}^t R {}^t A R \\ &= - {}^t R A R \\ &= - f(A) \\ \therefore \ \ f(A) &\in W \end{align} がわかり、これは $ f(W) \subset W $ を意味する。
\begin{align} g(A_1) &= -6A_1 - 3A_2 - 3A_3 \\ g(A_2) &= 2A_1 + 4A_3 \\ g(A_3) &= 2A_1 + 3A_2 + A_3 \end{align} であるから、 \begin{align} S &= \begin{pmatrix} -6 & 2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{align} がわかる。
\begin{align} -3, -1 \pm \sqrt{13} \end{align}