$\Delta y = 0$ のとき、 $\Delta h = \Delta x$ であり、次のようになる： \begin{align} \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \left\{ u(x + \Delta x, y) + i v(x + \Delta x, y) \right\} - \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} } {\Delta x} \\ &= \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + i \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} . \end{align} $\Delta x = 0$ のとき、 $\Delta h = i \Delta y$ であり、次のようになる： \begin{align} \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h} &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ \left\{ u(x, y + \Delta y) + i v(x, y + \Delta y) \right\} - \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} } {i \Delta y} \\ &= -i \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} + \frac{\partial v(x,y)}{\partial y} . \end{align} これらの実部どうし・虚部どうしが等しいので、次を得る： \begin{align} \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x,y)}{\partial y} , \ \ \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} = - \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} . \end{align}
$C$ の内部で $e^{iz}/z$ は特異点を持たないので、 $I=0$ である。
また、$I$ は次のように4つの積分に分けて計算できる： \begin{align} I_1 &= \int_\varepsilon^R \frac{e^{ix}}{x} dx \\ &= \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx + i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx ,\\ I_2 &= \int_{-\varepsilon}^{-R} \frac{e^{ix}}{x} dx \\ &= - \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx + i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx ,\\ I_3 &= \int_\pi^0 \frac{e^{i \varepsilon \exp(i \theta)}}{\varepsilon e^{i \theta}} i \varepsilon e^{i \theta} d \theta \\ &= -i \int_0^\pi e^{i \varepsilon \exp (i \theta)} d \theta \\ &\xrightarrow{\varepsilon \to 0} -i \int_0^\pi d \theta = -i \pi ,\\ I_4 &= \int_0^\pi \frac{e^{iR \exp (i \theta)}}{R e^{i \theta}} i R e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi e^{iR \exp (i \theta)} d \theta \\ &= i \int_0^\pi e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} d \theta ,\\ \left| I_4 \right| &\leq \int_0^\pi \left| e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} \right| d \theta \\ &= \int_0^\pi e^{-R \sin \theta} d \theta \\ &\lt \frac{\pi}{R} \xrightarrow{R \to \infty} 0 . \end{align} 以上より、$I=I_1+I_2+I_3+I_4=0$ は $\varepsilon \to 0, R \to \infty$ において、 \begin{align} 2i \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx - i \pi = 0 \end{align} となり、 \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \end{align} を得る。