\begin{align} \left| 00 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle - \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \right] \end{align}
固有値方程式 \begin{align} \mathcal{H} \psi(\vec{r}) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 + \frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 \right) \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \end{align} に $\psi(\vec{r}) = X(x)Y(y)Z(z)$ を代入して整理すると、 \begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2 \right) + \left( -\frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{Y''(y)}{Y(y)} + \frac{1}{2} \mu \omega^2 y^2 \right) + \left( -\frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{Z''(z)}{Z(z)} + \frac{1}{2} \mu \omega^2 z^2 \right) = E \end{align} となるので、 $x,y,z$ 成分がそれぞれ独立に 質量 $\mu$ , 角振動数 $\omega$ の 1次元調和振動子とみなせることがわかる。
したがって、このハミルトニアン $\mathcal{H}$ の基底状態の空間部分の波動関数は \begin{align} \psi_{000} (\vec{r}) = \phi_0(x) \phi_0(y) \phi_0(z) \end{align} であり、第1励起状態の空間部分の波動関数は \begin{align} \psi_{100} (\vec{r}) &= \phi_1(x) \phi_0(y) \phi_0(z) \\ \psi_{010} (\vec{r}) &= \phi_0(x) \phi_1(y) \phi_0(z) \\ \psi_{001} (\vec{r}) &= \phi_0(x) \phi_0(y) \phi_1(z) \end{align} である。
$\phi_0(-x)=\phi_0(x), \ \ \phi_1(-x) = - \phi(x)$ であるから、 \begin{align} \psi_{000} (-\vec{r}) &= \psi_{000} (\vec{r}) \\ \psi_{100} (-\vec{r}) &= - \psi_{100} (\vec{r}) \\ \psi_{010} (-\vec{r}) &= - \psi_{010} (\vec{r}) \\ \psi_{001} (-\vec{r}) &= - \psi_{001} (\vec{r}) \end{align} である。
考えている2粒子は同種フェルミ粒子であるから、 粒子の入れ替えに対して波動関数の符号が変わる。 基底状態の波動関数の空間部分は $\psi_{000} (\vec{r})$ で 符号が変わらないので、 これと組み合わせられるスピン部分は、 $\left| 00 \right\rangle$ である。 つまり、基底状態の波動関数は、 \begin{align} \psi_{000} (\vec{r}) \left| 00 \right\rangle = \phi_0(x) \phi_0(y) \phi_0(z) \left| 00 \right\rangle \end{align} である。
第1励起状態の波動関数の空間部分は $\psi_{100} (\vec{r}), \psi_{010} (\vec{r}), \psi_{001} (\vec{r})$ であり、 これと組み合わせられるスピン部分は $\left| 11 \right\rangle, \left| 10 \right\rangle, \left| 1 \ -1 \right\rangle$ である。 これらのすべての組み合わせが第1励起状態なので、 縮退度は $3 \times 3 = 9$ である。
\begin{align} \left( \vec{r} \cdot \vec{s} \right) \left| \uparrow \right\rangle &= \left( x s_x + y s_y + z s_z \right) \left| \uparrow \right\rangle \\ &= \frac{\hbar}{2} \left\{ x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} z \\ x+iy \end{pmatrix} \\ &= \frac{\hbar}{2} \left\{ z \left| \uparrow \right\rangle + (x+iy) \left| \downarrow \right\rangle \right\} \end{align}
a) と同様にして、 \begin{align} \left( \vec{r} \cdot \vec{s} \right) \left| \downarrow \right\rangle = \frac{\hbar}{2} \left\{ (x-iy) \left| \uparrow \right\rangle -z \left| \downarrow \right\rangle \right\} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \Delta V \left| 00 \right\rangle &= - \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \vec{r} \cdot \vec{s}_1 \right) \left( \vec{r} \cdot \vec{s}_2 \right) \left( \left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle - \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \right) \\ &= - \frac{g}{\sqrt{2}} \frac{\hbar^2}{4} \left[ \left\{ z \left| \uparrow \right\rangle + (x+iy) \left| \downarrow \right\rangle \right\} \left\{ (x-iy) \left| \uparrow \right\rangle -z \left| \downarrow \right\rangle \right\} - \left\{ (x-iy) \left| \uparrow \right\rangle -z \left| \downarrow \right\rangle \right\} \left\{ z \left| \uparrow \right\rangle + (x+iy) \left| \downarrow \right\rangle \right\} \right] \\ &= \frac{g \hbar^2}{4} \left( x^2+y^2+z^2 \right) \left| 00 \right\rangle \\ \therefore \ \ \left\langle 00 \right| \Delta V \left| 00 \right\rangle &= \frac{g \hbar^2}{4} \left( x^2+y^2+z^2 \right) \end{align}
よって、求めるエネルギー変化は、 \begin{align} & \iiint \psi_{000}(\vec{r}) \left\langle 00 \right| \Delta V \left| 00 \right\rangle \psi_{000}(\vec{r}) dx dy dz \\ &= \frac{g \hbar^2}{4} \iiint \left( x^2+y^2+z^2 \right) \phi_0^2(x) \phi_0^2(y) \phi_0^2(z) dx dy dz \\ &= \frac{g \hbar^2}{4} \left( \frac{\mu \omega}{\pi \hbar} \right)^{6/4} \int_0^\infty r^2 e^{-\frac{\mu \omega}{\hbar} r^2} \cdot 4 \pi r^2 dr \\ &= \pi g \hbar^2 \left( \frac{\mu \omega}{\pi \hbar} \right)^{3/2} \int_0^\infty r^4 e^{-\frac{\mu \omega}{\hbar} r^2} dr \\ &= \pi g \hbar^2 \left( \frac{\mu \omega}{\pi \hbar} \right)^{3/2} \frac{3!!}{2^3} \sqrt{\pi \left( \frac{\hbar}{\mu \omega} \right)^5} \\ &= \frac{3}{8} \frac{g \hbar^3}{\mu \omega} \end{align} である。