$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} \frac{3}{2} - \lambda & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} - \lambda \end{pmatrix} \\ &= \lambda^2 - 3 \lambda + 2 \\ &= ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) \end{align} なので、 \begin{align} \lambda_1 = 1, \ \ \lambda_2 = 2 \end{align} である。 固有値 $\lambda_1=1$ に対応する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $u+v=0$ がわかり、 固有値 $\lambda_2=2$ に対応する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $u=v$ がわかるので、 \begin{align} \boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がわかる。
\begin{align} U = \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
2) で求めた $U$ を使って次のように計算できる： \begin{align} \exp \left( i \pi A \right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(i \pi A)^n}{n!} \\ &= U \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(i \pi)^n}{n!} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n \right) U^{-1} \\ &= U \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \begin{pmatrix} (i \pi)^n & 0 \\ 0 & (2i \pi)^n \end{pmatrix} \right) U^{-1} \\ &= U \begin{pmatrix} \exp (i \pi) & 0 \\ 0 & \exp (2i \pi) \end{pmatrix} U^{-1} \\ &= U \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} U^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . \end{align}