$z=e^{i \theta}$ のとき \begin{align} dz = i e^{i \theta} d \theta = i z d \theta \end{align} である。 複素平面上で原点を中心とする半径 $1$ の円を反時計回りに回る積分経路を $C$ と書くと、 \begin{align} I &= \int_0^{2 \pi} \frac{\cos \theta}{13 + 5 \cos \theta} d \theta \\ &= \oint_C \frac{\frac{z+z^{-1}}{2}}{13 + 5 \frac{z+z^{-1}}{2}} \cdot \left( - i \frac{dz}{z} \right) \\ &= -i \oint_C \frac{z^2 + 1}{z(5z+1)(z+5)} dz \end{align} となる。 最後の式の被積分関数は $C$ の内側の $z=0, -1/5$ に1位の極をもつ。 $z=0$ における留数は \begin{align} -i \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{z^2 + 1}{z(5z+1)(z+5)} = -i \lim_{z \to 0} \frac{z^2 + 1}{(5z+1)(z+5)} = - \frac{1}{5} i \end{align} であり、 $z=-1/5$ における留数は \begin{align} -i \lim_{z \to -1/5} \left( z + \frac{1}{5} \right) \cdot \frac{z^2 + 1}{z(5z+1)(z+5)} = -i \lim_{z \to -1/5} \frac{z^2 + 1}{5z(z+5)} = \frac{13}{60} i \end{align} であるから、留数定理より、 \begin{align} I &= 2 \pi i \left( - \frac{1}{5} i + \frac{13}{60} i \right) \\ &= - \frac{\pi}{30} \end{align} がわかる。