$A,B \in \boldsymbol{R}$ について \begin{align} A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{0} \end{align} が成り立つとすると、 \begin{align} A+5B=0, \ \ A+3B=0, \ \ 3A+B=0 \end{align} となり、 $A=B=0$ を得るので、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ は一次独立である。
\begin{align} \boldsymbol{a}_3 = - \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_1 + \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_2 \end{align} が成り立つので、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ は一次従属である。
(1-1), (1-2) より、 $\boldsymbol{b}$ が $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ の一次結合で表せるということは、 $\boldsymbol{b}$ が $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ の一次結合で表せるということである。
$A,B \in \boldsymbol{R}$ について \begin{align} \boldsymbol{b} = A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2 \end{align} が成り立つとすると、 \begin{align} b_1=A+5B, \ \ b_2=A+3B, \ \ b_3=3A+B \tag{i} \end{align} となるが、(i) の1,2番目の式から \begin{align} A = \frac{-3b_1+5b_2}{2}, \ \ B = \frac{b_1-b_2}{2} \end{align} となり、これを (i) の3番目の式に代入すると、 \begin{align} -4b_1 + 7b_2 = b_3 \end{align} を得る。 これが求める条件である。