$k=1,2, \cdots$ について \begin{align} \frac{d^k}{dx^k} e^x &= e^x \end{align} なので、 \begin{align} e^x &= 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + \cdots \end{align} である。
\begin{align} \lim_{x \to 0} A(x) &= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + \cdots }{x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} x + \frac{1}{24} x^2 + \cdots \right) \\ &= \frac{1}{2} \end{align}