\begin{align} \boldsymbol{a} \cdot ( \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} ) &= \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4k \\ -k \\ 6 \end{pmatrix} \\ &= - k^2 - 8k + 18 \end{align}
$|\boldsymbol{a} \cdot ( \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} ) | = 2$ ということは、 $\boldsymbol{a} \cdot ( \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} ) = 2$ または $\boldsymbol{a} \cdot ( \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} ) = -2$ ということである。 前者の場合 \begin{align} - k^2 - 8k + 18 = 2 \\ k^2 + 8k - 16 = 0 \\ \therefore \ \ k = - 4 \pm 4 \sqrt{2} \end{align} であり、後者の場合 \begin{align} - k^2 - 8k + 18 = -2 \\ k^2 + 8k - 20 = 0 \\ (k-2)(k+10) = 0 \\ \therefore \ \ k = 2, -10 \end{align} である。 よって、求める $k$ の値は \begin{align} k = 2, -10, -4 \pm 4 \sqrt{2} \end{align} である。